Teoría de la Medida e Integración 2023

Este es un curso introductorio a la teoría de la medida e integración. El tema central del curso es el estudio de las diferentes nociones de integración, que se utilizan en análisis matemático. Como base fundamental, se estudia la teoría de la medida, la cual sienta las bases para el desarrollo de diferentes teorías de integración. El curso comienza con una revisión de algunas teorías de integración de Riemann y Riemann-Stieltjes y sus propiedades. Luego, se hace un estudio de conceptos fundamentales como sigma-álgebras y pi-sistemas, conjuntos Borelianos, y la axiomática de los espacios de medida, y se introduce el concepto de la medida de Lebesgue. Se continúa con el estudio de los teoremas fundamentales de la teoría de la medida, como los teoremas de convergencia monótona y convergencia limitada, y otros resultados similares, y se hace una revisión de resultados generales para la integral de Lebesgue, y la integral de Lebesgue-Stieltjes. Al final del curso, se hace una introducción a otras teorías de integración más generales como la integral de Lebesgue-Stieltjes y la teoría de integración de Kurzweil-Henstock. Es necesario que los estudiantes estén familiarizados con resultados de análisis real (en una y varias variables), topología de espacios métricos, y que tengan un dominio hábil de herramientas de álgebra lineal y cálculo.

Programa del curso

Programa del curso

Horario

• Lunes y miércoles, de 19:00 a 20:35 horas.

Office Hours

• Viernes de 18:00 a 20:00 horas, por solicitud del estudiante. También pueden enviar sus dudas por correo electrónico.

Material del curso

No.	Fecha	Tópicos	Recursos
00	09.01.2023	Introducción al curso.
01	11.01.2023	Integral de Riemann e integral de Darboux. Limitaciones. Aula 01	Elon Lages, Curso de Análise I.
02	16.01.2023	Integral de Riemann-Stieltjes. Ejemplos. Aula 02	Bartle, Cap. 29.
03	18.01.2023	Propiedades de la integral de Riemann-Stieltjes.	Bartle, Cap. 29.
04	23.01.2023	Funciones de Variación Limitada. Aula 04	Kolmogorov y Fomin (Análisis). Cap. 9.
05	25.01.2023	Criterios y propiedades de Integrabilidad. Aula 05	Bartle, Cap. 30 y 31.
L1	25.01.2023		Lista 01. Fecha de Entrega: miércoles 8 de febrero.
06	30.01.2023	La Medida Exterior de Lebesgue. Aula 06	Wheeden y Zygmund, Cap. 3.
07	01.02.2023	Propiedades de la medida exterior. Aula 07	Wheeden y Zygmund, Cap. 3.
08	06.02.2023	Conjuntos Lebesgue-mesurables. Aula 08	Wheeden y Zygmund, Cap. 3.
09	08.02.2023	Solución de la Lista 01.
10	13.02.2023	Caracterizaciones de mesurabilidad. Teorema de Caratéodory. Teorema de Vitali. Aula 09	Wheeden y Zygmund, Cap. 3.
L2	13.02.2023		Lista 02. Fecha de Entrega: lunes 27 de febrero.
11	15.02.2023	$\sigma$-álgebras. Construcción de $\sigma$-álgebras. Aula 10	Schilling, Cap. 3.
12	22.02.2023	Clases monótonas. El Teorema de Clases Monótonas. Aula 11	Schilling, Cap. 5.
13	27.02.2023	Medidas positivas. Propiedades. Ejemplos. Aula 12	Schilling, Cap. 4. Bartle, Cap. 3.
L3	27.02.2023		Lista 03. Fecha de Entrega: lunes 13 de marzo.
14	01.03.2023	Ejercicios sobre medidas.	Ejercicios.pdf
15	06.03.2023	Teorema de Unicidad de Extensiones. Invarianza de la medida de Lebesgue. Aula 13	Schilling, Cap. 5.
16	08.03.2023	Teorema de Extensión de Carathéodory. Aula 14	Schilling, Cap. 6.
17	13.03.2023	Mapas mesurables. Aula 15	Schilling, Cap. 7.
18	15.03.2023	Borelianos extendidos. Ejemplos de funciones mesurables. Aula 16	Schilling, Cap. 8.
19	20.03.2023	Funciones Simples. Aula 17	Schilling, Cap. 8.
L4	20.03.2023		Lista 04. Fecha de Entrega: lunes 10 de abril.
20	22.03.2023	Integración de Funciones Positivas. Aula 18	Schilling, Cap. 9.
21	10.04.2023	Ejemplos de Integración. Integración de Funciones Mesurables. Aula 19	Schilling, Cap. 10.
22	12.04.2023	Conjuntos de medida nula. Conceptos c.t.p. Aula 20	Schilling, Cap. 11.
23	17.04.2023	Teoremas de Convergencia. Aula 21	Schilling, Caps. 9 y 12.
24	19.04.2023	Aplicaciones de la Integral de Lebesgue. Aula 22	Schilling, Cap. 12.
L5	23.04.2023		Lista 05. Fecha de Entrega: lunes 08 de mayo.
25	24.04.2023	Espacios Lp. Desigualdades importantes. Aula 23	Bartle, Cap. 6. Schilling, Cap. 12.
26	26.04.2023	Modos de Convergencia. Aula 24	Bartle, Cap. 7.
27	03.05.2023	Medidas Producto. Aula 25	Bartle, Cap. 10. Schilling, Cap. 14.
28	08.05.2023	Teorema de Tonelli. Teorema de Fubini. Aula 26	Bartle, Cap. 10. Schilling, Cap. 14.
29	10.05.2023	Medidas con signo. Teorema de descomposición de Hahn. Teorema de descomposición de Jordan. Aula 27	Grabinski, sección 10.1 y 10.2.
30	15.05.2023	Teorema de Radón-Nikodym. Aula 28	Grabinski, sección 10.3.
L6	15.05.2023		Lista 06. Fecha de Entrega: miércoles 17 de mayo.
31	22-24.05.2023	Presentación de seminarios.

Seminario

A continuación se listan algunos temas sugeridos para presentación de seminarios. Temas-seminario.pdf

Fechas importantes:

No.	Fecha	.
1	03.05.2023	Último día para elección de tema.
2	19.05.2023	Entrega de presentación y reporte (borrador).
3	22-31.05.2023	Presentación de Seminarios.
4	03.06.2023	Entrega de versión final (Presentación y Reporte).

Presentaciones:

Fecha	Expositor	Tópico
22.05.2023	Pablo Stefan Quintana	Integral de Kurzweil-Henstock Presentación
22.05.2023	Guillermo Furlán	Teorema de Egoroff y Teorema de Lusin Presentación
24.05.2023	María José Gil	Teorema de convergencia de Vitali Presentación
24.05.2023	Joshua Chicoj	Transformada de Fourier Presentación
29.05.2023	Wilfredo Gallegos	La transformación de Jacobi Presentación
29.05.2023	Juan Luis Solórzano	La medida de Hausdorff Presentación
31.05.2023	Alejandro Pallais	Coordenadas polares y el volumen de la esfera unitaria Presentación

Referencias

Textos:

• R. Bartle (2011). The Elements of Integration and Lebesgue Measure.

• R. Schilling (2017). Measures, Integrals and Martingales.

• G. Grabinski (2013). Teoría de la medida.

Referencias adicionales:

• Elon Lages Lima (2014). Curso de Análise, Vol. I.

• R. Bartle (1980). Introducción al Análisis Matemático.

• W. Rudin (1987). Real and Complex Analysis.

• G. Folland (1999). Real Analysis and its Applications.

• H. Royden (2010). Real Analysis.

• H. Bauer (2006). Measure and Integration Theory.

• V. Bogachev (2007). Measure Theory, Vol. I.

• V. Bogachev (2007). Measure Theory, Vol. II.

• E. Stein y R. Shakarchi (2012). Real Analysis: Measure Theory, Integration and Hilbert Spaces.

• R. Wheeden y A. Zygmund (2015). Measure and Integral.

• D. L. Cohn (2013). Measure Theory.

• A. N. Kolmogorov y S. Fomin (1962). Measure, Lebesgue Integrals and Hilbert Spaces

• A. N. Kolmogorov y S. Fomin (1975). Introductory Real Analysis

• P. Halmos (1974). Measure Theory.

Artículos:

• R. Bartle (2018) Return to Riemann Integral.

• E. Kowalski (2016) Measure and Integral.

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