Geometría Diferencial 2021

Este es un curso introductorio de geometría diferencial. El tema central del curso es el estudio de la geometría de curvas y superfícies, así como una breve inicio al estudio de la geometría Riemmanniana. Al final del curso, los estudiantes comprederán completamente, la teoría de las curvas y superfícies, y el desarrollo de la geometría diferencial hasta la mitad el siglo XIX. Si el tiempo lo permite, al final del curso se hará una aplicación de cómo la geometría diferencial se utiliza en la teoría de relatividad general. Para aprovechar de mejor manera el curso, es recomendable que los estudiantes estén familiarizados con resultados de análisis real (en una y varias variables), topología de espacios métricos, ecuaciones diferenciales, variable compleja y que tengan un dominio hábil de herramientas de álgebra lineal y cálculo.

Programa del curso

Programa del curso

Horario

• Miércoles y viernes, de 19:00 a 20:40 horas.

Office Hours

• Viernes de 17:00 a 18:00 horas, o por solicitud del estudiante. También pueden enviar sus dudas por correo electrónico.

Material del curso

No.	Fecha	Tópicos	Actividades/
01	13.01.2021	Introducción Aula 01	(D. J. Struik) Outline of History of Differential Geometry I (D. J. Struik) Outline of History of Differential Geometry II
02	15.01.2021	Curvas parametrizadas Aula 02	Do Carmo, secciones 1.2 y 1.3. Kühnel, sección 2A, pp. 7–11.
03	20.01.2021	Teoría local de curvas Aula 03	Do Carmo, secciones 1.5 y 1.6. Kühnel, secciones 2B y 2C, pp. 12–27. Curva toroidal (Geogebra)
04	22.01.2021	Teorema fundamental de curvas Aula 04	Do Carmo, sección 1.6. Kühnel, sección 2D, pp. 28–32. Para leer sobre el Teorema Fundamental de las EDO: Cap 8. (W. Kelley, A. Peterson) The Theory of EDO
L1	26.01.2021		Lista 1 Fecha de entrega: viernes 12 de febrero
05	27.01.2021	Curvas en el espacio de Minkowski Aula 05	Kühnel, sección 2E, pp. 33–37.
06	27.01.2021	La desigualdad isoperimétrica Aula 06	Do Carmo, sección 1.7, Kühnel, sección 2F.
07	29.01.2021	El teorema de los 4 vértices Aula 07	(Jackson, 1945) (Ghomi, 2010) (DeTurck, 2007) Comentario: Hay varias generalizaciones del teorema de los 4 vértices. Por ejemplo, el artículo de DeTurck et al. da otra prueba del teorema y de su recíproco, y lista varias generalizaciones, pero no a superficies.
08	03.02.2021	La fórmula de Cauchy-Crofton Aula 08	Do Carmo, sección 1.7.
09	05.02.2021	Superficies regulares Aula 09	Do Carmo, secciones 2.1 y 2.2, pp. 51–58. Kühnel, sección 3A, pp. 55–58.
10	12.02.2021	Superficies regulares Aula 10	Do Carmo, sección 2.2.
11	17.02.2021	Funciones diferenciables en superficies Aula 11	Do Carmo, sección 2.3.
L2	17.02.2021		Lista 2 Fecha de entrega: domingo 28 de febrero
12	19.02.2021	El plano tangente Aula 12	Do Carmo, sección 2.4. Ya aparecen corregidos los errores en las diapositivas.
13	24.02.2021	Orientabilidad de superficies Aula 13	Kühnel, sección 3A, pp. 63–65. Do Carmo, sección 2.6. Allí hay otra prueba de que la banda de Möbius no es orientable.
14	26.02.2021	Primera forma fundamental Aula 14	Kühnel, sección 3A. Do Carmo, sección 2.5.
15	03.03.2021	Áreas en superficies Aula 15	Kühnel, sección 3A. Do Carmo, sección 2.5.
L3	03.03.2021		Lista 3 Fecha de entrega: martes 16 de marzo
16	05.03.2021	La aplicación de Gauss. Segunda forma fundamental Aula 16	Kühnel, sección 3B. Do Carmo, sección 3.1.
17	10.03.2021	Curvaturas en sperficies. Indicatriz de Dupin. Aula 17	Kühnel, sección 3B. Do Carmo, sección 3.2 y 3.3.
18	12.03.2021	Segunda forma en coordenads locales. Ecuación de Weingarten. Aula 18	Kühnel, sección 3B. Do Carmo, sección 3.3.
19	17.03.2021	Superficies regladas. Superficies de revolución. Aula 19	Kühnel, sección 3C. Do Carmo, sección 3.5.A
20	19.03.2021	Superficies mínimas. Aula 20	Kühnel, sección 3D. Do Carmo, sección 3.5.B
S1	20.03.2021	Seminario 1 (ver tema al final del aula 20, o abajo).	Fecha de presentación: Temas 1, 2, 3: miércoles 07 de abril Temas 4, 5: viernes 09 de abril
21	24.03.2021	Superficies mínimas II. La representación de Weierstrass. Aula 21	Kühnel, sección 3D.
22	31.03.2021	Superficies en el espacio de Minkowski. Hiperficies en Rn.	Kühnel, sección 3E.
S1	07.04.2021	Seminario 1	Ejemplos de superficies mínimas.
S1	09.04.2021	Seminario 1	Ejemplos de superficies mínimas.
L4	13.04.2021		Lista 4 Fecha de entrega: martes 27 de abril
23	14.04.2021	Teoría intrínseca de superficies. Símbolos de Christoffel. El Teorema Egregium. Aula 23	Do Carmo, sección 4.3. Kühnel, sección 4C.
24	16.04.2021	Teorema de Bonnet. Cálculo de símbolos de Christoffel. Aula 24	Do Carmo, sección 4.3. Kühnel, sección 4D.
25	23.04.2021	Vecindad tubular. Variación de curvas. Geodésicas. Aula 25	Do Carmo, sección 4.4. Montiel Ros, Capítulo 4 (vecindad tubular), Montiel Ros, sección 7.5.
26	28.04.2021	La derivada covariante. Ecuación de las geodésicas. Aula 26	Do Carmo, sección 4.4. Kühnel, sección 4A.
27	30.04.2021	Transporte paralelo. Geodésicas en superficies de revolución. Aula 27	Do Carmo, sección 4.4.
28	05.05.2021	El Teorema de Gauss-Bonnet local. Aula 28	Do Carmo, sección 4.5. Kühnel, sección 4F.
29	07.05.2021	El Teorema de Gauss-Bonnet global. Aplicaciones. Aula 29	Do Carmo, sección 4.5. Kühnel, sección 4F.
L5	11.05.2021		Lista 5 Fecha de entrega: viernes 4 de junio
30	12.05.2021	Variedades diferenciables. Aula 30	Lee Smooth Manifolds, Cap. 1. Apéndice A.
31	14.05.2021	Funciones sobre variedades diferenciables. Aula 31	Lee Smooth Manifolds, Cap. 2. Apéndice A y C.
32	19.05.2021	Vectores tangentes. Variedades Riemannianas. Aula 32	Lee Smooth Manifolds, Cap. 3. Kühnel, Cap. 5.
33	21.05.2021	Formas diferenciales Aula 33	Do Carmo Differential Forms. Capítulo 1 a 3.
S2	26.05.2021	Presentación de Seminarios.	Kühnel, Capítulo 6.
S2	28.05.2021	Presentación de Seminarios.	Kühnel, Capítulo 6.
S2	02.06.2021	Presentación de Seminarios. Discusión sobre Ecuaciones de Campo de Einstein.	Kühnel, Capítulo 8. Leer artículos S. Walters (2016) y A. Pe’er (2014)

Temas para el primer seminario

No.	Fecha	Expositor	Tópicos
01	07.04.2021	Mariana Presentación	Catenoide y Helicoide
02	07.04.2021	Estefanía Presentación	Superficie de Enneper + Superficie de Costa
03	07.04.2021	José Presentación	Superficie de Henneberg + Trinoide
05	09.04.2021	Estuardo Presentación	Superficie de Scherk I y II + Saddle tower
04	14.04.2021	Juan Carlos Presentación	Superficie de Costa + Superficie de Bour

Temas para el segundo seminario

No.	Fecha	Expositor	Tópicos
01	26.05.2021	José Presentación	Sección 6A: Tensores
02	28.05.2021	Estefanía Presentación	Sección 6B: Curvatura Seccional
03	28.05.2021	Estuardo Presentación	Sección 6C: Tensor de Ricci y Tensor de Einstein
04	02.06.2021	Mariana Presentación	Sección 8A: Funcional de Hilbert-Einstein
05	02.06.2021	Juan Carlos Presentación	Sección 8B: Las Ecuaciones de Campo

Referencias

Textos:

• W. Kühnel (2015). Differential Geometry: Curves – Surfaces – Manifolds.

• M. do Carmo (2016). Differential Geometry of curves and surfaces.

Referencias adicionales:

• M. do Carmo (2015). Geometria Riemanniana.

• S. Montiel y A. Ros (2009). Curves and Surfaces.

• B. O’neill (2006). Elementary Differential Geometry.

• M. Spivak (2018). Calculus on Manifolds: A modern approach.

• M. do Carmo (2000). Differential Forms and Applications.

• L. Tu (2011). An Introduction to Manifolds.

• J. M. Lee (2013). Introduction to Topological Manifolds.

• J. M. Lee (2013). Introduction to Smooth Manifolds.

• J. M. Lee (2018). Introduction to Riemmanian Manifolds.

Artículos:

• S. Walters (2016). How Einstein Got His Field Equations.

• A. Pe’er (2014). Einstein’s field equation.

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