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Curso de Teoría de la Medida e Integración 2022

Teoría de la Medida e Integración 2022

Este es un curso introductorio a la teoría de la medida e integración. El tema central del curso es el estudio de las diferentes nociones de integración, que se utilizan en análisis matemático. Como base fundamental, se estudia la teoría de la medida, la cual sienta las bases para el desarrollo de diferentes teorías de integración. El curso comienza con una revisión de algunas teorías de integración de Riemann y Riemann-Stieltjes y sus propiedades. Luego, se hace un estudio de conceptos fundamentales como sigma-álgebras y pi-sistemas, conjuntos Borelianos, y la axiomática de los espacios de medida, y se introduce el concepto de la medida de Lebesgue. Se continúa con el estudio de los teoremas fundamentales de la teoría de la medida, como los teoremas de convergencia monótona y convergencia limitada, y otros resultados similares, y se hace una revisión de resultados generales para la integral de Lebesgue, y la integral de Lebesgue-Stieltjes. Al final del curso, se hace una introducción a otras teorías de integración más generales como la integral de Lebesgue-Stieltjes y la teoría de integración de Kurzweil-Henstock. Es necesario que los estudiantes estén familiarizados con resultados de análisis real (en una y varias variables), topología de espacios métricos, y que tengan un dominio hábil de herramientas de álgebra lineal y cálculo.

Programa del curso

Programa del curso

Horario

  • Lunes y miércoles, de 19:00 a 20:35 horas.

Office Hours

  • Viernes de 18:00 a 20:00 horas, o por solicitud del estudiante. También pueden enviar sus dudas por correo electrónico.

Material del curso

No. Fecha Tópicos Recursos
01 10.01.2022 Introducción
 
02 12.01.2022 Integral de Riemann e integral de Darboux. Limitaciones.
Ver Elon Lages, Curso de Análise I.
03 17.01.2022 Integral de Riemann-Stieltjes. Ejemplos.
Bartle, Cap. 29.
04 19.01.2022 Propiedades de la Integral.
Bartle, Cap. 29.
05 24.01.2022 Modificación de la Integral. Funciones de Variación Limitada.
Aula 05		 Kolmogorov y Fomin (Análisis). Cap. 9.
06 26.01.2022 Criterio de Integrabilidad de Riemann
Aula 06		 Bartle, Cap. 30.
L1 29.01.2022   Lista de ejercicios 1
Fecha de entrega: Domingo 13 de febrero.
07 31.01.2022 Teorema del Valor Medio. Teoremas de Convergencia Monótona y Limitada.
Aula 07		 Bartle, Cap. 31.
08 02.02.2022 La medida exterior de Lebesgue.
Aula 08		 Royden, sección 2.2.
09 07.02.2022 Conjuntos mesurabes. La medida de Lebesgue.
Aula 09		 Wheedon y Zygmund, Cap. 3.
10 09.02.2022 La sigma-álgebra de Borel. Caracterizaciones de mesurabilidad.
Aula 10		 Wheedon y Zygmund, Cap. 3.
11 14.02.2022 Existencia de conjuntos no Lebesgue-mesurables.
Aula 11		 Wheedon y Zygmund, Cap. 3.
12 16.02.2022 Sigma álgebras. Generadores de la sigma-álgebra de Borel.
Aula 12		 Schilling, Cap 3.
13 21.02.2022 Lema de Clases Monótonas. lambda-sistemas y pi-sistemas.
Aula 13		 Schilling, Cap 5.
L2 27.02.2022   Lista de ejercicios 2
Fecha de entrega: Domingo 13 de marzo.
14 23.02.2022 Medidas. Definición y propiedades.
Aula 14		 Schilling, Cap 4.
15 28.02.2022 Ejemplos de medidas.
Aula 15		 Schilling, Cap 4.
16 02.03.2022 Unicidad de Medidas. Invarianza de la medida de Lebesgue por traslaciones.
Aula 16		 Schilling, Cap 5.
17 07.03.2022 Existencia de Medidas. El Teorema de Carathéodory.
Aula 17		 Schilling, Cap 6.
18 09.03.2022 Prueba del Teorema de Carathéodory I.
Aula 18		 Schilling, Cap 6.
19 14.03.2022 Prueba del Teorema de Carathéodory II.
Aula 19		 Schilling, Cap 6.
L3 16.03.2022   Lista de ejercicios 3
Fecha de entrega: Lunes 04 de abril.
20 16.03.2022 Mapeos mesurables.
Aula 20		 Schilling, Cap 7.
21 21.03.2022 La sigma-álgebra de Borel extendida. Funciones mesurables. Ejemplos.
Aula 21		 Schilling, Cap 8.
22 23.03.2022 Funciones simples. El Sombrero Lemma.
Aula 22		 Schilling, Cap 8.
23 28.03.2022 Corolarios al lema del Sombrero. Teorema de Clases monótonas para funciones.
Aula 23		 Schilling, Cap 8.
24 04.04.2022 Integración. Integral de funciones simples positivas.
Aula 24		 Schilling, Cap 9.
25 06.04.2022 Integración de funciones mesurables positivas.
Aula 25		 Schilling, Cap 9.
26 20.04.2022 Integración de funciones mesurables. Espacios L1 y l1.
Aula 26		 Schilling, Cap 10.
27 25.04.2022 Conjuntos de medida nula. Definición de c.t.p.
Aula 27		 Schilling, Cap 11.
28 27.04.2022 Teorema de Convergencia Monótona.
Aula 28		 Schilling, Cap 12.
29 04.05.2022 Teorema de Convergencia Dominada. Diferencias entre la integral de Riemann y la Integral de Lebesgue.
Aula 29		 Schilling, Cap 12.
30 09.05.2022 Lemas de Continuidad y Diferenciabilidad. Integrales impropias.
Aula 30		 Schilling, Cap 12.
31 11.05.2022 Espacios Lp.
Aula 31		 Bartle, Cap 6. Schilling, Cap 13.
32 16.05.2022 Modos de convergencia.
Aula 32		 Bartle, Cap 7.
33 18.05.2022 Medidas producto. Teorema de Tonelli. Teorema de Fubini.
Aula 33		 Bartle, Cap 9.

Referencias

Textos:

Seminarios

Temas específicos de teoría de la medida. Cada estudiante deberá presentar un capítulo y tema elegido.
Recursos:
Referencias del curso.

No. Tópicos Material
1 La Integral de Kurzweil-Henstock. Notas 1
Notas 2
2 El Teorema de Transformación de Jacobi. Schilling Cap. 16
3 Medidas de Hausdorff. Schilling Cap. 18
4 El Teorema de Radón-Nikodym. Schilling Cap. 20
5 El Teorema de Representación de Riesz. Schilling Cap. 21

Presentaciones del seminario