Geometría Diferencial 2023

Este es un curso introductorio de geometría diferencial. El tema central del curso es el estudio de la geometría de curvas y superfícies, así como una breve inicio al estudio de la geometría Riemmanniana. Al final del curso, los estudiantes comprederán completamente, la teoría de las curvas y superfícies, y el desarrollo de la geometría diferencial hasta la mitad el siglo XIX. Si el tiempo lo permite, al final del curso se hará una aplicación de cómo la geometría diferencial se utiliza en la teoría de relatividad general. Para aprovechar de mejor manera el curso, es recomendable que los estudiantes estén familiarizados con resultados de análisis real (en una y varias variables), topología de espacios métricos, ecuaciones diferenciales, variable compleja y que tengan un dominio hábil de herramientas de álgebra lineal y cálculo.

Programa del curso

Programa del curso

Horario

• Martes y jueves, de 19:50 a 21:25 horas.

Office Hours

• Viernes de 18:00 a 20:00 horas, por solicitud del estudiante. También pueden enviar sus dudas por correo electrónico.

Material del curso

No.	Fecha	Tópicos	Recursos
01	10.01.2023	Introducción. Historia de la Geometría Diferencial. Aula 01	(D. J. Struik) Outline of History of Differential Geometry I (D. J. Struik) Outline of History of Differential Geometry II
02	12.01.2023	Curvas parametrizadas. Longitud de arco. Aula 02	Do Carmo, sección 1.2. Kühnel, sección 2A, pp. 7–11.
03	17.01.2023	Parametrización por longitud de arco. Aula 03	Do Carmo, sección 1.3. Kühnel, sección 2A, pp. 7–11.
04	19.01.2023	Teoría local de curvas. Curvatura en R^2 y en R^3. Aula 04	Do Carmo, sección 1.5. Kühnel, sección 2B. Curva toroidal
05	24.01.2023	Forma canónica local. Aula 05	Do Carmo, sección 1.6. Kühnel, secciones 2C y 2D.
06	26.01.2023	Transformaciones rígidas. Aula 06	Para leer sobre el Teorema Fundamental de las EDO: Cap 8. (W. Kelley, A. Peterson) The Theory of EDO
L1	26.01.2023		Lista 01 Fecha de entrega: Jueves 09 de febrero.
07	31.01.2023	El Teorema Fundamental de la teoría local de curvas. Aula 07	Do Carmo, sección 1.6. Kühnel, sección 2D, pp. 28–32.
08	02.02.2023	Propiedades globales de curvas planas. La desigualdad isoperimétrica. Aula 08	Do Carmo, sección 1.7. Kühnel, sección 2F.
09	07.02.2023	Índice de rotación. Curvas convexas. El Teorema de los 4 vértices. Aula 09	Kühnel, sección 2F.
10	09.02.2023	La fórmula de Cauchy-Crofton. Aula 10	Do Carmo, sección 1.7.
11	09.02.2023	Curvas en el espacio de Minkowski. Aula 11	Kühnel, sección 2E, pp. 33–37.
L2	13.02.2023		Lista 02 Fecha de entrega: Jueves 23 de febrero.
12	14.02.2023	Solución de la Lista 01.
13	16.02.2023	Superficies Regulares. Aula 12	Do Carmo, sección 2.2.
14	21.02.2023	Ejemplos de superficies regulares. Formal local. Aula 13	Do Carmo, sección 2.2.
15	23.02.2023	Más ejemplos de superficies regulares.	Do Carmo, sección 2.2.
16	07.03.2023	Funciones diferencibles sobre superficies. Aula 14	Do Carmo, sección 2.3.
L3	07.03.2023		Lista 03 Fecha de entrega: Jueves 16 de marzo.
17	09.03.2023	El plano Tangente. El fibrado tangente. Aula 15	Do Carmo, sección 2.4. En el libro de Do Carmo de variedades, se habla un poco sobre el fibrado tangente.
18	14.03.2023	Ejercicios de la Lista 03.
19	16.03.2023	Orientabilidad de superficies. Aula 16	Kühnel, sección 3A, pp. 63–65. Do Carmo, sección 2.6. En Do Carmo se usa otro modelo para la banda de Möbius.
20	21.03.2023	La primera forma fundamental. Aula 17	Kühnel, sección 3A. Do Carmo, sección 2.5.
21	23.03.2023	Áreas en superficies. Aula 18	Kühnel, sección 3A. Do Carmo, sección 2.5.
L4	23.03.2023		Lista 04 Fecha de entrega: Martes 11 de abril.
22	11.04.2023	La aplicación de Gauss. Segunda forma fundamental. Aula 19	Kühnel, sección 3B. Do Carmo, sección 3.1.
23	13.04.2023	Aplicaciones de la Segunda forma fundamental. Aula 20	Kühnel, sección 3B. Do Carmo, sección 3.1.
24	13.04.2023	Curvaturas en superfícies. Aula 21	Kühnel, sección 3B. Do Carmo, sección 3.2 y 3.3.
25	18.04.2023	Segunda forma fundamental en coordenadas. Ecuaciones de Weingarten. Aula 22	Kühnel, sección 3B. Do Carmo, sección 3.3.
26	18.04.2023	Superficies Regladas. Superficies de Revolución. Aula 23	Do Carmo, sección 3.4.
L5	20.04.2023		Lista 05 Fecha de entrega: Viernes 05 de mayo.
27	20.04.2023	El problema de Plateau. Superficies Mínimas. Aula 24	Kühnel, sección 3D. Do Carmo, sección 3.5.B.
28	25.04.2023	Superficies Mínimas II. Representación de Weierstrass. Aula 25	Kühnel, sección 3D.
29	27.04.2023	Superficies en espacios de Minkowski. Aula 26	Kühnel, sección 3E.
30	27.04.2023	Geometría intrínseca de superficies. Símbolos de Christoffel. Teorema Egregium. Aula 27	Do Carmo, sección 4.3. Kühnel, sección 4C.
31	02.05.2023	Teorema de Bonnet. Cálculo de símbolos de Christoffel. Aula 28	Do Carmo, sección 4.3. Kühnel, sección 4D.
32	04.05.2023	Vecindad tubular. Definición de Geodésica. Aula 29	Do Carmo, sección 4.4. Montiel Ros, Capítulo 4 (vecindad tubular), Montiel Ros, sección 7.5.
33	11.05.2023	Ejemplos de Geodésicas.	Do Carmo, sección 4.4. Kühnel, sección 4A.
34	16.05.2023	La Derivada Covariante. Ecuación de las Geodésicas Aula 30	Do Carmo, sección 4.4. Kühnel, sección 4A.
35	18.05.2023	Transporte Paralelo. Aula 31	Do Carmo, sección 4.4. Kühnel, sección 4A.
L6	23.05.2023		Lista 06 Fecha de entrega: Sábado 03 de junio.
36	23.05.2023	El Teorema de Gauss-Bonnet local. Aula 32	Do Carmo, sección 4.5. Kühnel, sección 4F.
37	25.05.2023	El Teorema de Gauss-Bonnet global. Aula 33	Do Carmo, sección 4.5. Kühnel, sección 4F.

Seminario

Tema: Superficies Mínimas.

Fechas importantes:

No.	Fecha	.
1	27.05.2023	Entrega de presentación y reporte (borrador).
2	29-31.05.2023	Presentación de Seminarios.
3	03.06.2023	Entrega de versión final (Presentación y Reporte).

Presentaciones:

Fecha	Expositor	Tópico
30.05.2023	Rudik Rompich	El Catenoide y el Helicoide Presentación
30.05.2023	Elder Guzmán	La superficie de Enneper Presentación
30.05.2023	Oscar Godoy	La superficie de Costa Presentación
30.05.2023	Carlos Martínez	Superficie de Catalán, Superficie de Bour Presentación
01.06.2023	Oscar Godoy	La superficie de Henneberg Presentación
01.06.2023	Rudik Rompich	Superficies de Scherk I y II Presentación
01.06.2023	Elder Guzmán	Superficies de Schwarz Presentación

Referencias

Textos:

• W. Kühnel (2015). Differential Geometry: Curves – Surfaces – Manifolds.

• M. do Carmo (2016). Differential Geometry of curves and surfaces.

Referencias adicionales:

• M. do Carmo (2015). Geometria Riemanniana.

• S. Montiel y A. Ros (2009). Curves and Surfaces.

• B. O’neill (2006). Elementary Differential Geometry.

• M. Spivak (2018). Calculus on Manifolds: A modern approach.

• M. do Carmo (2000). Differential Forms and Applications.

• L. Tu (2011). An Introduction to Manifolds.

• J. M. Lee (2013). Introduction to Topological Manifolds.

• J. M. Lee (2013). Introduction to Smooth Manifolds.

• J. M. Lee (2018). Introduction to Riemmanian Manifolds.

Artículos:

• S. Walters (2016). How Einstein Got His Field Equations.

• A. Pe’er (2014). Einstein’s field equation.

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