Teoría de Números 2023

Este es un curso introductorio a la teoría de números. El curso hace una revisión de los temas clásicos en teoría básica de números, aunque introducidos desde una perspectiva y enfoque algebraico, haciendo uso de propiedades de estructuras como grupos y anillos. Se hace una revisión de los tópicos y conceptos tradicionales en teoría de números: divisibilidad y fundamentos de la aritmética, congruencias y sistemas de congruencias, residuos cuadráticos, fracciones continuas, ecuaciones diofantinas. Se estudian algunos métodos y aplicaciones recientes en el área de criptografía. El final del curso se enfoca en la teoría analítica de números, donde se estudian las principales funciones aritméticas y teoremas de estimación. Se hace una introducción al teorema de los números primos y otros métodos analíticos.

Prerrequisitos

Se recomienda que los estudiantes antes del curso estén habituados con los temas:

Fundamentos (Inducción matemática, teoría de conjuntos, propiedades de funciones).
Álgebra lineal (cálculo matricial y propiedades).
Álgebra abstracta (conocimientos generales de grupos y anillos).
Matemática discreta (conteo, recurrencias, relaciones de orden y de equivalencia).
Cálculo (límites, derivadas e integrales).
Programación en Python.

Programa del curso

Horario

Martes de 19:00 a 19:45 CIT-501, Jueves de 19:00 a 19:45 CIT-414, y Viernes de 19:00 a 20:35 CIT-503.

Office Hours

Viernes de 18:00 a 19:00.

Material del curso

No.	Fecha	Tópicos	Recursos
01	04.07.2023	Introducción al curso. Historia de la aritmética. Aula 01	Burton, secciones 1.1, 1.2 y 2.1.
02	07.07.2023	Divisibilidad. Propiedades. Aula 02	Burton, sección 2.2.
L1	07.07.2023		Lista 01 Fecha de Entrega: Martes 18 de julio.
03	11.07.2023	Algoritmo de la División. MDC y MMC. Aula 03	Burton, sección 2.3.
04	14.07.2023	Lema de Bézout. Algoritmo de Euclides. Aula 04	Burton, secciones 2.3 y 2.4.
L2	16.07.2023		Lista 02 Fecha de Entrega: Martes 01 de agosto.
05	18.07.2023	La ecuación xa + yb = c. Aula 05	Burton, sección 2.5.
06	21.07.2023	El Teorema Fundamental de la Aritmética. Aula 06	Burton, sección 3.1.
07	25.07.2023	Números primos. Propiedades. Aula 07	Burton, secciones 3.2 y 3.3.
08	27.07.2023	Ternas pitagóricas. Aula 08	Stillwell, secciones 1.6 y 1.7.
09	28.07.2023	Solución de la Lista 1 y Lista 2.
10	01.08.2023	Congruencias. Aula 09	Burton, sección 4.1.
11	03.08.2023	Cancelación Modular. Ejemplos de usos de congruencias.	Repasar su teoría de grupos finitos.
12	04.08.2023	Representación en bases. Potenciación modular. Aula 10
L3	04.08.2023		Lista 03 Fecha de Entrega: Viernes 18 de agosto.
13	08.08.2023	Criterios de divisibilidad. Aula 11	Nota: Falta completar pruebas del teorema para construir criterios.
14	10.08.2023	El anillo de enteros módulo n. Aula 12	Burton, sección 4.2.
15	11.08.2023	Unidades módulo n. La función totiente de Euler. Aula 13	Burton, sección 4.3.
16	17.08.2023	El Teorema de Euler. El pequeño teorema de Fermat. Aula 14a	Burton, secciones 5.2, 7.2, 7.3.
17	18.08.2023	Aplicaciones. El Test de primalidad de Fermat. Aula 14b	Burton, sección 5.2.
18	22.08.2023	Solución de congruencias lineales.	Burton, sección 4.4.
L4	22.08.2023		Lista 04 Fecha de Entrega: Viernes 1 de septiembre.
19	24.08.2023	Sistemas lineales de congruencias.	Burton, sección 4.4.
20	25.08.2023	El Teorema chino del residuo.	Burton, sección 4.4.
21	31.08.2023	Solución de sistemas lineales de congruencias, caso general.
22	01.09.2023	Solución de la Lista 3 y Lista 4.
23	05.09.2023	Congruencias cuadráticas. Símbolo de Legendre. Aula 18	Burton, secciones 9.1 y 9.2.
24	07.09.2023	Lema de Gauss. Aula 19	Burton, sección 9.3.
25	19.09.2023	Ley de reciprocidad cuadrática.	Burton, sección 9.3.
26	21.09.2023	Solución de congruencias cuadráticas. Aula 20	Burton, sección 9.3.
27	22.09.2023	Congruencias de orden superior. Lema de Hensel. Aula 21	Niven-Zuckerman, sección 2.6.
28	26.09.2023	Símbolo de Jacobi. Aula 22	Niven-Zuckerman, sección 2.6.
29	28.09.2023	El Método rho de Pollard. Aula 23	Niven-Zuckerman, sección 2.4.
30	29.09.2023	Orden y raíces primitivas. Aula 24	Burton, capítulo 8.
31	29.09.2023	Aplicaciones a criptografía. Aula 24a Aula 24b Aula 24c
L5	02.10.2023		Lista 05 Fecha de Entrega: Lunes 23 de octubre.
32	03.10.2023	Fracciones continuas finitas. Convergentes. Presentación Guillermo	Burton, capítulo 15.
33	05.10.2023	Fracciones continuas. Fórmula de recurrencia. Presentación Alejandro	Burton, capítulo 15.
34	06.10.2023	Fracciones continuas infinitas. Presentación Stefan	Burton, capítulo 15.
35	06.10.2023	Fracciones continuas infinitas. Cota de aproximación. Presentación Rudik	Burton, capítulo 15.
36	10.10.2023	Buenas aproximaciones. Teorema de optimalidad. Presentación Wilfredo	Burton, capítulo 15.
37	12.10.2023	Fracciones de Farey. Presentación Sofía	Burton, capítulo 15.
38	13.10.2023	Ecuaciones Diofantinas I: La ecuación de Legendre. Presentación Nicolle	Niven-Zuckerman, sec. 7.8.
39	17.10.2023	Ecuaciones Diofantinas II: La ecuación de Pell. Presentación Majo	Cap. 5 Stillwell.
40	19.10.2023	Ecuaciones Diofantinas III: Sumas de Cuadrados. Presentación Joshua	Cap. 8 Stillwell.
41	24.10.2023	Descenso de Fermat. La ecuación de Fermat, caso n=4. Aula 27	Cap. 6 y 7 Stillwell.
42	27.10.2023	La ecuación de Fermat, caso n=3. Aula 28	Cap. 6 y 7 Stillwell.
43	31.10.2023	Enteros algebraicos. Enteros gaussianos, enteros de Eisenstein. Aula 29	Ribemboim.
L6	02.11.2023		Lista 06 Fecha de Entrega: Viernes 24 de noviembre.
44	02.11.2023	Funciones Aritméticas. Aula 30	Apostol, Cap. 2.
45	03.11.2023	La Fórmula de inversión de Möbius. Aula 31	Apostol, Cap. 2.
46	07.11.2023	Promedios de funciones aritméticas. Notación asintótica.	Apostol, Cap. 3.
47	09.11.2023	Fórmula de sumas de Euler. Aula 32	Apostol, Cap. 3.
48	10.11.2023	Estimativas asintóticas. Densidad de pares coprimos.	Apostol, Cap. 3.
49	14.11.2023	Estimativas sobre primos: Teorema de Chebyshev, Postulado de Bertrand. Aula 34	Apostol, Cap. 4.
50	14.11.2023	El Teorema de los números primos. Aula 35	Apostol, Cap. 4.
51	17.11.2023	Presentación de seminarios.

Seminarios

Temas para el seminario 1:

Fecha	Expositor	Tópicos	Recursos
03.10.2023	Guillermo Furlán	Fracciones continuas Hasta el Teorema 15.2, Ejemplos	Burton, sección 15.2, pp 306-311 Niven-Zuckerman, sec. 7.1 y 7.2 Aula 25a
05.10.2023	Alejandro Pallais	Fracciones continuas Teoremas 15.3 y 15.4	Burton, sección 15.2, pp 311-317 Niven-Zuckerman, sec. 7.1 y 7.2 Aula 25a
06.10.2023	Stefan Quintana	Fracciones continuas infinitas Teoremas 15.5, 15.6 y Corolario	Burton, sección 15.3, pp 319-324 Niven-Zuckerman, sec. 7.3 Aula 25b
06.10.2023	Rudik Rompich	Fracciones continuas infinitas Teoremas 15.7, Ejemplos 15.5 y 15.6	Burton, sección 15.3, pp 324-328 Niven-Zuckerman, sec. 7.3 Aula 25b
10.10.2023	Wilfredo Gallegos	Buenas Aproximaciones Lema, Teoremas 15.8 y 15.9, Ejemplos	Burton, sección 15.3, pp 330-332 Niven-Zuckerman, sec. 7.3 Aula 25c
12.10.2023	Sofía Escobar	Fracciones de Farey Toda la sección	Burton, sección 15.4, pp 334-337 Niven-Zuckerman, Cap. 7 Aula 25c
13.10.2023	Nicolle Escobar	Ecuaciones Diofantinas I Ecuación de Legendre	Moreira et al. Niven-Zuckerman, sec. 5.5 Aula 26a
17.10.2023	María José Gil	Ecuaciones Diofantinas II Ecuación de Pell	Stillwell, capítulo 5 Niven-Zuckerman, sec. 7.8 Aula 26b
19.10.2023	Joshua Chicoj	Ecuaciones Diofantinas III Sumas de Cuadrados	Stillwell, capítulo 8 Stein-Shakarchi, Vol 2, Cap. 10 Aula 26c

Temas para el seminario 2:

No.	Fecha	Tópicos	Recursos
1	19.10.2023	Seminario 2 - Tema libre.	Temas
2	02.11.2023	Fecha límite para elegir tema.
3	12.11.2023	Entrega de la presentación (borrador).
4	16 al 23.11.2023	Presentación de seminarios.
5	26.11.2023	Entrega de código y presentación final.

Seminario 2 – Temas ya elegidos

No.	Fecha	Expositor	Tópico
1	16.11.2023	Stefan Quintana	La hipótesis de Riemann Presentación
2	17.11.2023	Sofía Escobar	Test de primalidad de Pocklington Presentación
3	17.11.2023	Wilfredo Gallegos	El algoritmo de Karatsuba Presentación
4	17.11.2023	Nicolle Escobar	El último teorema de Fermat Presentación
5	21.11.2023	Joshua Chicoj	Aplicaciones en criptografía Presentación
6	23.11.2023	Guillermo Furlán	Los problemas de Landau Presentación
7	24.11.2023	Rudik Rompich	Software en Teoría de Números Presentación
8	24.11.2023	Maria José Gil	El algoritmo de Shor Presentación
9	24.11.2023	Alejandro Pallais	La conjetura Monstruous Moonshine Presentación

tn2023

Curso de Teoría de Números 2023