Geometría Diferencial 2024
Este es un curso introductorio de geometría diferencial. El tema central del curso es el estudio de la geometría de curvas y superfícies, así como una breve inicio al estudio de la geometría de variedades. Al final del curso, los estudiantes comprederán completamente, la teoría de las curvas y superfícies, y el desarrollo de la geometría diferencial hasta la mitad el siglo XIX. Introduciremos también algunos conceptos de la geometría de variedades diferenciables y un poco de cálculo sobre variedades. Si el tiempo lo permite, al final del curso se hará una aplicación de cómo la geometría diferencial se utiliza en la teoría de relatividad general.
Para aprovechar de mejor manera el curso, es recomendable que los estudiantes estén familiarizados con resultados de análisis real (en una y varias variables), topología de espacios métricos, ecuaciones diferenciales, variable compleja y que tengan un dominio hábil de herramientas de álgebra lineal y cálculo.
Programa del curso
Horario
- Martes y jueves, de 19:50 a 21:25 horas.
Office Hours
- Miércoles y viernes, de 19:00 a 20:00 horas, por solicitud del estudiante. También pueden enviar sus dudas por correo electrónico.
Material del curso
| No. | Fecha | Tópicos | Recursos |
|---|---|---|---|
| 01 | 09.01.2024 | Introducción. Historia de la Geometría Diferencial. Aula 01 |
(D. J. Struik) Outline of History of Differential Geometry I (D. J. Struik) Outline of History of Differential Geometry II |
| 02 | 11.01.2024 | Curvas parametrizadas. Aula 02 |
Do Carmo, sección 1.2. Kühnel, sección 2A, pp. 7–11. |
| 03 | 16.01.2024 | Parametrización por Longitud de Arco. Aula 03 |
Do Carmo, sección 1.3. Kühnel, sección 2A, pp. 7–11. |
| 04 | 18.01.2024 | Teoría local de curvas. Curvatura en R^2 y en R^3. Aula 04 | Do Carmo, sección 1.5. Kühnel, sección 2B. Curva toroidal |
| 05 | 23.01.2024 | Forma canónica local. Aula 05 |
Do Carmo, sección 1.6. Kühnel, secciones 2C y 2D. |
| 06 | 25.01.2024 | Transformaciones rígidas. Aula 06 |
Para leer sobre el Teorema Fundamental de las EDO: Cap 8. {(W. Kelley, A. Peterson) The Theory of EDO |
| L1 | 25.01.2024 | Lista 01 Fecha de entrega: Jueves 08 de febrero. |
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| 07 | 30.01.2024 | El Teorema Fundamental de la teoría local de Curvas. Aula 07 | Do Carmo, sección 1.6. Kühnel, sección 2D, pp. 28–32. |
| 08 | 01.02.2024 | Propiedades globales de curvas planas. La desigualdad Isoperimétrica. Aula 08 | Do Carmo, sección 1.7. Kühnel, sección 2F. |
| 09 | 06.02.2024 | Índice de rotación. Curvas convexas. El Teorema de los 4 vértices. Aula 09 | Kühnel, sección 2F. |
| 10 | 08.02.2024 | La Fórmula de Cauchy-Crofton. Aula 10 | Do Carmo, sección 1.7. |
| 11 | 13.02.2024 | Curvas en espacios de Minkowski. Aula 11 |
Kühnel, sección 2E, pp. 33–37. |
| L2 | 15.02.2024 | Lista 02 Fecha de entrega: Jueves 29 de febrero. |
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| 12 | 20.02.2024 | Superficies Regulares. Aula 12 |
Do Carmo, sección 2.2. |
| 13 | 22.02.2024 | Ejemplos de superficies regulares. Forma local de las superficies regulares. Aula 13 | Do Carmo, sección 2.2. |
| 14 | 29.02.2024 | Valores Regulares. Superficies a partir de valores regulares. Aula 14 | Do Carmo, sección 2.2. |
| L3 | 29.02.2024 | Lista 03 Fecha de entrega: Martes 18 de marzo. |
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| 15 | 05.03.2024 | Funciones Diferenciables sobre Superficies. Aula 15 |
Do Carmo, sección 2.3. |
| 16 | 07.03.2024 | El Plano Tangente. Aula 16 |
Do Carmo, sección 2.4. En el libro de Do Carmo de variedades, se habla un poco sobre el fibrado tangente. |
| 17 | 12.03.2024 | Orientabilidad de Superficies. Aula 17 |
Kühnel, sección 3A, pp. 63–65. Do Carmo, sección 2.6. |
| 18 | 14.03.2024 | Orientabilidad de Superficies II. Ejemplo de una superficie no orientable. Aula 18 |
Do Carmo, sección 2.6. En Do Carmo se usa otro modelo para la banda de Möbius. |
| 19 | 19.03.2024 | Primera forma fundamental. Aula 19 |
Kühnel, sección 3A. Do Carmo, sección 2.5. |
| L4 | 21.03.2024 | Lista 04 Fecha de entrega: Martes 16 de abril. |
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| 20 | 02.04.2024 | Áreas sobre superficies. Aula 20 |
Kühnel, sección 3A. Do Carmo, sección 2.5. |
| 21 | 04.04.2024 | La aplicación normal de Gauss. Segunda forma fundamental. Aula 21 | Kühnel, sección 3B. Do Carmo, sección 3.1. |
| 22 | 09.04.2024 | Aplicaciones de la segunda forma fundamental. Aula 22 | Kühnel, sección 3B. Do Carmo, sección 3.1. |
| 23 | 09.04.2024 | Curvaturas en superficies. Indicatriz de Dupin. Aula 23 | Kühnel, sección 3B. Do Carmo, sección 3.1. |
| 24 | 11.04.2024 | Segunda forma fundamental en coordenadas. Ecuaciones de Weingarten. Aula 24 | Kühnel, sección 3B. Do Carmo, sección 3.1. |
| 25 | 16.04.2024 | Superfícies mínimas I. Parametrizaciones isotérmicas. Aula 25 | Kühnel, sección 3D. Do Carmo, sección 3.5.B. |
| 26 | 18.04.2024 | Superfícies mínimas II. Representación de Weierstrass. Aula 26 | Kühnel, sección 3D. |
| L5 | 18.04.2024 | Lista 05 Fecha de entrega: Jueves 02 de mayo. |
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| 27 | 19.04.2024 | Superfícies regladas. Superficies de revolución. Aula 27 | Do Carmo, sección 3.4. |
| 28 | 19.04.2024 | Superfícies en el espacio de Minkowski. Aula 28 | Kühnel, sección 3E. |
| 29 | 23.04.2024 | Geometría intrínseca de superficies. Símbolos de Christoffel. Teorema Egregium. Aula 29 | Do Carmo, sección 4.3. Kühnel, sección 4C. |
| 30 | 25.04.2024 | Teorema de Bonnet. Cálculo de símbolos de Christoffel. Aula 30 | Do Carmo, sección 4.3. Kühnel, sección 4C. |
| 31 | 30.04.2024 | Vecindad tubular. Definición de geodésicas. Aula 31 | Do Carmo, sección 4.4. Montiel Ros, Capítulo 4 (vecindad tubular), Montiel Ros, sección 7.5. |
| 32 | 02.05.2024 | Ejemplos de geodésicas. Campos tangentes. La derivada covariante. Aula 32 | Do Carmo, sección 4.4. Kühnel, sección 4A. |
| 33 | 07.05.2024 | Ecuación de las geodésicas. Transporte paralelo. Aula 33 | Do Carmo, sección 4.4. Kühnel, sección 4A. |
| 34 | 09.05.2024 | Teorema de Gauss-Bonnet local. Aula 34 |
Do Carmo, sección 4.5. Kühnel, sección 4F. |
| 35 | 14.05.2024 | Teorema de Gauss-Bonnet global. Aula 35 |
Do Carmo, sección 4.5. Kühnel, sección 4F. |
| 36 | 21.05.2024 | Variedades topológicas. Variedades diferenciables. Aula 36 | Lee, Topological Manifolds. |
| 37 | 23.05.2024 | Ejemplos de variedades diferenciables. Elementos de topología algebraica. Aula 37 | Lee, Smooth Manifolds. L. Tu, An Introduction to Manifolds. |
Seminarios
Seminario sobre superfícies mínimas.
| No. | Fecha | Expositor | Tópico |
|---|---|---|---|
| 1 | 28.05.2024 | Guillermo Furlán | Helicoide y Catenoide Presentación |
| 2 | 28.05.2024 | Stefan Quintana | Superficie de Catalan Presentación |
| 3 | 28.05.2024 | Sofía Escobar | Superficie de Enneper Presentación |
| 4 | 28.05.2024 | Wilfredo Gallegos | Superficie de Costa Presentación |
| 5 | 30.05.2024 | Joshua Chicoj | Superficie de Henneberg Presentación |
| 6 | 30.05.2024 | María José Gil | Superficie de Scherk I y II Presentación |
| 7 | 30.05.2024 | Juan Luis Solórzano | Superficie de Schwarz Presentación |
| 8 | 30.05.2024 | Alejandro Pallais | Superficie de Bour Presentación |
Referencias
Textos:
-
W. Kühnel (2015). Differential Geometry: Curves - Surfaces - Manifolds.
-
M. do Carmo (2016). Differential Geometry of curves and surfaces.