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Geometría Diferencial 2025

Geometría Diferencial 2025

Este es un curso introductorio de geometría diferencial. El tema central del curso es el estudio de la geometría de curvas y superfícies, así como una breve inicio al estudio de la geometría de variedades. Al final del curso, los estudiantes comprederán completamente, la teoría de las curvas y superfícies, y el desarrollo de la geometría diferencial hasta la mitad el siglo XIX. Introduciremos también algunos conceptos de la geometría de variedades diferenciables y un poco de cálculo sobre variedades. Si el tiempo lo permite, al final del curso se hará una aplicación de cómo la geometría diferencial se utiliza en la teoría de relatividad general.

Para aprovechar de mejor manera el curso, es recomendable que los estudiantes estén familiarizados con resultados de análisis real (en una y varias variables), topología de espacios métricos, ecuaciones diferenciales, variable compleja y que tengan un dominio hábil de herramientas de álgebra lineal y cálculo.

Programa del curso

Programa del curso

Horario

  • Martes y jueves, de 19:50 a 21:25 horas.

Office Hours

  • Por definir. Por solicitud del estudiante. También pueden enviar sus dudas por correo electrónico.

Material del curso

No. Fecha Tópicos Recursos
01 14.01.2025 Introducción al curso. Historia de la geometría diferencial. Aula 01 (D. J. Struik) Outline of History of Differential Geometry I
(D. J. Struik) Outline of History of Differential Geometry II
02 16.01.2025 Curvas parametrizadas.
Aula 02		 Do Carmo, sección 1.2.
Kühnel, sección 2A, pp. 7–11.
03 21.01.2025 Difeomorfismos. Parametrización por longitud de arco. Aula 03 Do Carmo, sección 1.3.
Kühnel, sección 2A, pp. 7–11.
04 23.01.2025 Teoría local de curvas. Curvatura en R^2 y en R^3. Aula 04 Do Carmo, sección 1.5.
Kühnel, sección 2B.
toroidal_curve.ggb
05 28.01.2025 Forma canónica local.
Aula 05		 Kühnel, secciones 2C y 2D.
06 30.01.2025 Transformaciones rígidas en R^n.
Aula 06		  
07 30.01.2025 Teorema Fundamental de la teoría local de Curvas Planas. Aula 07 Do Carmo, sección 1.6.
Kühnel, sección 2D, pp. 28–32.
L1 30.01.2025 Lista 1. Fecha de entrega: 13 de febrero. Lista 1
08 04.02.2025 Teorema Fundamental de la teoría local de Curvas en R3. Aula 08 Leer Kelley-Peterson, Cap. 8
Do Carmo, sección 1.6.
Kühnel, sección 2D, pp. 28–32.
09 06.02.2025 Curvas en el espacio de Minkowski.
Aula 09		 Kühnel, sección 2E, pp. 33-37.
10 11.02.2025 Propiedades globales de curvas planas. La desigualdad isoperimétrica. Aula 10 Do Carmo, sección 1.7.
Kühnel, sección 2F.
11 13.02.2025 Índice de rotación. Teorema de los 4 vértices. Teorema de Fabricius-Bjerre. Aula 11 Do Carmo, sección 1.7.
Kühnel, sección 2F.
12 18.02.2025 Fórmula de Cauchy-Crofton.
Aula 12		 Do Carmo, sección 1.7.
L2 18.02.2025 Lista 2. Fecha de entrega: 04 de marzo. Lista 2
13 20.02.2025 Superficies regulares. Caracterización de regularidad. Aula 13 Do Carmo, sección 2.2.
14 25.02.2025 Repaso de la definición de superficie regular.  
15 27.02.2025 Ejemplos de superficies regulares.
Aula 14		 Do Carmo, sección 2.2.
16 04.03.2025 Forma local de las superficies regulares. Aula 15 Do Carmo, sección 2.2.
17 06.03.2025 Valores regulares. Superficies a partir de valores regulares. Aula 16 Do Carmo, sección 2.2.
L3 06.03.2025 Lista 3. Fecha de entrega: 20 de marzo. Lista 3
18 11.03.2025 Funciones diferenciables sobre superficies. Aula 17 Do Carmo, sección 2.3.
19 13.03.2025 El Plano Tangente.
Aula 18		 Do Carmo, sección 2.4.
En el libro de Do Carmo de variedades, se habla un poco sobre el fibrado tangente.
19 20.03.2025 Orientabilidad de superficies I.
Aula 19		 Kühnel, sección 3A, pp. 63–65.
Do Carmo, sección 2.6.
20 25.03.2025 Orientabilidad de superficies II. La banda de Möbius no es orientable. Aula 20 Do Carmo, sección 2.6.
En Do Carmo se usa otro modelo para la banda de Möbius.
L4 25.03.2025 Lista 4. Fecha de entrega: 10 de abril. Lista 4
21 27.03.2025 La primera forma fundamental.
Aula 21		 Kühnel, sección 3A.
Do Carmo, sección 2.5.
22 01.04.2025 Áreas en superficies.
Aula 22		 Kühnel, sección 3A.
Do Carmo, sección 2.5.
23 03.04.2025 La aplicación de Gauss. Segunda forma fundamental. Aula 23 Aula 24 Kühnel, sección 3B.
Do Carmo, sección 3.1.
24 10.04.2025 Curvatura media, Curvatura de Gauss. Ejemplos. Aula 25 Kühnel, sección 3B.
Do Carmo, sección 3.1.
25 22.04.2025 Segunda forma en coordenadas locales. Ecuaciones de Weingarten. Aula 26 Kühnel, sección 3B.
Do Carmo, sección 3.1.
26 24.04.2025 El problema de Plateau. Variaciones de superficies. Superficies mínimas. Aula 27 Kühnel, sección 3D.
Do Carmo, sección 3.5.B.
L5 29.04.2025 Lista 4. Fecha de entrega: 8 de mayo. Lista 5
26 29.04.2025 Superfícies mínimas II. Representación de Weierstrass. Aula 28 Kühnel, sección 3D.
27 01.05.2025 Superfícies regladas. Superficies de revolución. Aula 29 Do Carmo, sección 3.4.
28 01.05.2025 Superfícies en el espacio de Minkowski. Aula 30 Kühnel, sección 3E.
29 06.05.2025 Geometría intrínseca de superficies. Símbolos de Christoffel. Teorema Egregium. Aula 31 Do Carmo, sección 4.3.
Kühnel, sección 4C.
30 08.05.2025 Teorema de Bonnet. Cálculo de símbolos de Christoffel. Aula 32 Do Carmo, sección 4.3.
Kühnel, sección 4C.
31 13.05.2025 Vecindad tubular. Definición de geodésicas. Do Carmo, sección 4.4.
Montiel Ros, Capítulo 4 (vecindad tubular), Montiel Ros, sección 7.5.
32 15.05.2025 Ejemplos de geodésicas. Campos tangentes. La derivada covariante. Do Carmo, sección 4.4.
Kühnel, sección 4A.
33 20.05.2025 Ecuación de las geodésicas. Trasporte paralelo. Do Carmo, sección 4.5.
Kühnel, sección 4F.
34 20.05.2025 Teorema de Gauss-Bonnet local. Do Carmo, sección 4.5.
Kühnel, sección 4F.
35 25.05.2025 Presentación de seminarios: Superficies mínimas.  
36 05.06.2025 Presentación de seminarios: Cálculo en Variedades.  

Seminarios

No. Fecha Tópicos Recursos
01 05.05.2025 Temas posibles para seminario.
Temas_seminario.pdf
02 15.05.2025 Máxima fecha para elegir tema.
 
03 24.05.2025 Envío de borrador presentación.
 
04 27.05.2025 Presentaciones (última semana de mayo y primera semana de junio).  
05 06.06.2025 Entrega de presentación final.  

Seminarios de fin de curso

Fecha Tópico Expositores
25.05.2025 Helicoide y Catenoide Joab, Jorge
25.05.2025 Superficie de Enneper Montse, Sharis
27.05.2025 Superficie de Catalán Gaby, Lou
27.05.2025 Formas diferenciales Nicolle, Pablo
03.05.2025 Variedades Riemannianas Sofi, Manu
05.05.2025 Tensor de Curvatura Ximena, Juan Pablo
05.05.2025 Teorema de Lovelock Juan Ignacio

Referencias