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tn2024

Curso de Teoría de Números 2024

Teoría de Números 2024

Este es un curso introductorio a la teoría de números, pero con un abordaje avanzado haciendo uso estructuras algebraicas vistan en otros cursos anteriores. El curso hace una revisión de los temas clásicos en teoría básica de números, aunque introducidos desde una perspectiva y enfoque algebraico, haciendo uso de propiedades de estructuras como grupos y anillos. Se hace una revisión de los tópicos y conceptos tradicionales en teoría de números: divisibilidad y fundamentos de la aritmética, congruencias y sistemas de congruencias, residuos cuadráticos, fracciones continuas, ecuaciones diofantinas. Se estudian algunos métodos y aplicaciones recientes en el área de criptografía.

Al final del curso nos enfocamos en la teoría analítica de números, donde se estudian las principales funciones aritméticas y teoremas de estimación. Se hace una introducción al teorema de los números primos y otros métodos analíticos.

Prerrequisitos

Se recomienda que los estudiantes antes del curso estén habituados con los temas:

Fundamentos (Inducción matemática, teoría de conjuntos, propiedades de funciones).
Álgebra lineal (cálculo matricial y propiedades).
Álgebra abstracta (conocimientos generales de grupos y anillos).
Matemática discreta (conteo, recurrencias, relaciones de orden y de equivalencia).
Cálculo (límites, derivadas e integrales).
Programación en Python.

Programa del curso

Horario

Lunes de 19:50 a 21:25 H-204 y Viernes de 19:00 a 20:35 H-204.

Office Hours

Viernes de 18:00 a 19:00.

Material del curso

No.	Fecha	Tópicos	Recursos
01	01.07.2024	Generalidades del curso. Motivación histórica. Aula 01	Burton, secciones 1.1, 1.2 y 2.1
L1	05.07.2024		Lista 01 Entrega: Viernes 19 de julio
02	08.07.2024	Divisibilidad. Propiedades. Aula 02	Burton, sección 2.2
03	12.07.2024	Algoritmo de la División. MDC y MMC. Aula 03	Burton, sección 2.3
04	15.07.2024	Lema de Bézout. Algoritmo de Euclides. Aula 04	Burton, secciones 2.3 y 2.4
05	19.07.2024	Estimativas en el algoritmo de Euclides. Aula 05
06	19.07.2024	La ecuación ax + by = c. Aula 06	Burton, sección 2.4
L2	19.07.2024		Lista 02 Entrega: Viernes 02 de agosto
07	22.07.2024	Teorema Fundamental de la Aritmética. Aula 07	Burton, sección 2.5
08	26.07.2024	Números primos. Factoración en primos. Aula 08	Burton, sección 2.5
09	29.07.2024	Congruencias. Aula 09	Burton, sección 4.1
10	02.08.2024	Representación en bases. Potenciación modular. Aula 10
11	05.08.2024	Corto 1.	Corto 01
12	09.08.2024	Criterios de Divisibilidad. Aula 11	Me falta detallar la prueba en los casos m = 10k + 3, 10k + 7 y 10k + 9.
13	12.08.2024	El grupo de unidades módulo n. Inversos. Aula 12	Burton, secciones 4.2 y 4.3
14	16.08.2024	La función totiente de Euler. Teorema de Euler. Pequeño Teorema de Fermat. Aula 13	Burton, secciones 4.2 y 4.3
L3	19.08.2024		Lista 03 Entrega: Viernes 30 de agosto
15	19.08.2024	El test de primalidad de Fermat. Aula 14	Burton, sección 5.2
16	23.08.2024	Solución de congruencias lineales.	Burton, sección 4.4.
17	26.08.2024	Teorema Chino del Residuo I.	Burton, sección 4.4
18	30.08.2024	Teorema Chino del Residuo II.	Burton, sección 4.4
L4	30.08.2024		Lista 04 Entrega: Martes 17 de septiembre
19	02.09.2024	Congruencias cuadráticas. Símbolo de Legendre. Aula 18	Burton, secciones 9.1 y 9.2
20	06.09.2024	Ley de reciprocidad cuadrática. Aula 19	Burton, sección 9.3
21	16.09.2024	Solución de dudas/ejercicios congruencias.
22	20.09.2024	Corto 2.	Corto 02
23	23.09.2024	Congruencias de orden superior. Lema de Hensel. Aula 20	Hardy-Wright
24	27.09.2024	Método rho de Pollard. Aula 21	Hardy-Wright
25	27.09.2024	Raíces primitivas. Logaritmo discreto. Aula 23	Burton, Cap. 8
L5	30.09.2024		Lista 05 Entrega: Lunes 14 de octubre
26	30.09.2024	Aplicaciones en criptografía. Protocolo de Diffie-Hellman. Aula 24a
27	04.10.2024	Fracciones continuas. Propiedades. Aula 25	Burton, secciones 15.2 y 15.3
28	07.10.2024	Fracciones continuas II. Teorema de Dirichlet. Teorema de Hurwitz-Markov. Aula 26	Burton, sección 15.4
29	11.10.2024	Fracciones continuas III. Fracciones de Farey. Aula 27	Burton, sección 15.5
30	11.10.2024	Ecuaciones Diofantinas I: Ternas Pitagóricas. Aula 28	Niven-Zuckerman, sec. 7.8.
31	14.10.2024	Ecuaciones Diofantinas II: Ecuación de Pell. Aula 29	Stillwell, Cap. 5
32	18.10.2024	Ecuaciones Diofantinas III: Sumas de Cuadrados. Aula 30	Stillwell, Cap. 5
33	21.10.2024	La ecuación de Fermat, caso n = 4. Aula 31	Stillwell, Cap. 6 y 7
34	25.10.2024	La ecuación de Fermat, caso n = 3. Aula 32	Stillwell, Cap. 6 y 7
35	28.10.2024	Enteros algebráicos: Enteros gaussianos. Enteros de Eisenstein. Aula 33
36	04.11.2024	Funciones aritméticas. Convolución de Dirichlet. Aula 34	Apostol, Cap. 2
37	08.11.2024	Fórmula de inversión de Möbius. Aula 35	Apostol, Cap. 2
38	08.11.2024	Promedios de funciones aritméticas. Aula 36	Apostol, Cap. 3
39	08.11.2024	El Teorema de los números primos. Aula 37 Aula 38	Apostol, Cap. 4
40	11.11.2024	Presentación de seminarios.
C3	18.11.2024	Corto 3.	Corto 3 Entrega: Viernes 22 de noviembre.
41	18.11.2024	Presentación de seminarios.
C4	22.11.2024	Corto 4.	Corto 4 Entrega: Domingo 24 de noviembre.

Seminarios

Temas para el seminario de curso:

No.	Fecha	Tópicos	Recursos
1	30.09.2024	Seminario - Tema libre.	Temas
2	18.10.2024	Fecha límite para elegir tema.
3	08.11.2024	Entrega de la presentación (borrador).
4	11 al 22.11.2024	Presentación de seminarios.
5	24.11.2024	Entrega de código y presentación final.

Seminario – Horarios de presentación

Fecha	Expositor	Tópico
11.11.2024	Ximena	Pequeñísima introducción a los números p-ádicos Presentación
11.11.2024	Mario	Criptografía usando curvas elípticas Presentación
11.11.2024	Montse	Conjetura Monstruous Moonshine Presentación
15.11.2024	Jorge	Criptografía RSA Presentación
15.11.2024	Juan Luis	Criba de Atkin-Berstein Presentación
15.11.2024	Gaby	Algoritmo de Karatsuba Presentación
18.11.2024	Joab	El Teorema de Fermat Presentación
18.11.2024	Lourdes	Comparación de software para teoría de números Presentación
18.11.2024	Manuel	Formas modulares y q-expansiones Presentación
22.11.2024	Sofi	La función zeta de Riemann Presentación
22.11.2024	Sharis	La Conjetura de Goldbach Presentación