Teoría de Números 2021

Este es un curso introductorio a la teoría de números. El curso hace una revisión de los temas clásicos en teoría básica de números, aunque introducidos desde una perspectiva y enfoque algebraico, haciendo uso de propiedades de estructuras como grupos y anillos. Se hace una revisión de los tópicos y conceptos tradicionales en teoría de números: divisibilidad y fundamentos de la aritmética, congruencias y sistemas de congruencias, residuos cuadráticos, fracciones continuas, ecuaciones diofantinas. Se estudian algunos métodos y aplicaciones recientes en el área de criptografía. El final del curso se enfoca en la teoría analítica de números, donde se estudian las principales funciones aritméticas y teoremas de estimación. Se hace una introducción al teorema de los números primos y otros métodos analíticos.

Prerrequisitos

Se recomienda que los estudiantes antes del curso estén habituados con los temas:

• Fundamentos (Inducción matemática, teoría de conjuntos, propiedades de funciones).
• Álgebra lineal (cálculo matricial y propiedades).
• Álgebra abstracta (conocimientos generales de grupos y anillos).
• Matemática discreta (conteo, recurrencias, relaciones de orden y de equivalencia).
• Cálculo (límites, derivadas e integrales).
• Programación en Python.

Programa del curso

Programa del curso

Horario

• Martes y Jueves, de 17:20 a 18:55.

Office Hours

• Viernes, de 18:00 a 20:00.

Material del curso

No.	Fecha	Tópicos	Recursos
01	08.07.2021	Introducción. Historia de la aritmética. Aula 01	Secciones 1.1, 1.2 y 2.1 Burton.
L1	09.07.2021		Lista de ejercicios 1 Fecha de entrega: Viernes 16 de julio.
02	13.07.2021	Divisibilidad. MDC y MMC. Algoritmo de la División. Aula 02	Secciones 2.2 y 2.3 Burton.
03	15.07.2021	Lema de Bézout. Algoritmo de Euclides. Aula 03	Secciones 2.3 y 2.4 Burton.
04	20.07.2021	La ecuación $xa + yb = c$. Números primos. Teorema Fundamental de la Aritmética. Aula 04	Secciones 2.5 y 3.1 Burton.
05	22.07.2021	Propiedades de números primos. Aula 05	Secciones 3.2 y 3.3 Burton.
L2	23.07.2021		Lista de ejercicios 2 Fecha de entrega: Sábado 31 de julio.
06	27.07.2021	Ternas pitagóricas. Aula 06	Secciones 1.6 y 1.7 Stillwell.
07	03.08.2021	Congruencias. Representación en bases. Aula 07	Sección 4.1 Burton.
08	05.08.2021	Potenciación binaria. Criterios de divisibilidad. Aula 08	Sección 4.2 Burton.
09	10.08.2021	El anillo de enteros Z/nZ. Aula 09	Secciones 4.3 y 5.3 Burton.
10	12.08.2021	La función de Euler y el Teorema de Fermat. Aula 10	Secciones 5.2, 7.2 y 7.3 Burton.
L3	13.08.2021		Lista de ejercicios 3 Fecha de entrega: Domingo 22 de agosto.
11	17.08.2021	Orden y raíces primitivas. Aula 11	Secciones 8.1, 8.2 y 8.3 Burton.
12	19.08.2021	Solución de congruencias lineales.	Sección 4.4 Burton.
13	24.08.2021	Teorema Chino del Resto. Aula 13	Sección 4.4 Burton.
14	31.08.2021	Ley de reciprocidad cuadrática. Aula 14	Secciones 9.1, 9,2 y 9.3 Burton.
L4	01.09.2021		Lista de ejercicios 4 Fecha de entrega: Sábado 11 de septiembre.
15	02.09.2021	Solución de congruencias cuadráticas. Levantamiento de potencias.	Sección 9.3 Burton.
16	07.09.2021	Congruencias superiores. Lema de Hensel. Aula 16	Sección 2.6 Niven y Zuckerman.
17	09.09.2021	Método rho de Pollard.	Sección 2.4 Niven y Zuckerman.
L5	13.09.2021		Lista de ejercicios 5 Fecha de entrega: Martes 28 de septiembre.
18	21.09.2021	Fracciones continuas. Aula 18	Continued Fractions (Waldschmidt) Continued Fractions (Waldschmidt-Sanna)
19	23.09.2021	Fracciones continuas. Teorema de Hurwitz-Markov. Aula 19	Secciones 15.2 y 15.3 Burton.
20	28.09.2021	Fracciones de Farey. Aula 20	Sección 15.4 Burton.
21	05.10.2021	Ecuaciones Diofantinas. Ecuación Pitagórica. Ecuación de Legendre. Aula 21
22	07.10.2021	Ecuaciones Diofantinas II. Ecuación de Pell. Aula 22	Cap. 5 Stillwell.
23	14.10.2021	Sumas de Cuadrados. Aula 23	Cap. 8 Stillwell.
24	19.10.2021	La Ecuación de Fermat. Caso n=4. Aula 24	Cap. 6 y 7 Stillwell.
25	21.10.2021	La Ecuación de Fermat. Caso n=3. Enteros algebraicos. Aula 25	Niven y Zuckerman, Sección 9.10.
26	27.10.2021	Enteros de Gauss y de Eisenstein. Aula 26	Cap. I. Ribemboim.
27	28.10.2021	Funciones Aritméticas. Producto de Dirichlet. Aula 27	Secciones 2.1 a 2.5 Apostol.
28	02.11.2021	Fórmulas de Inversión. La Fórmula de Inversión de Möbius. Aula 28	Secciones 2.6 a 2.11 Apostol.
29	09.11.2021	Promedios de funciones aritméticas I. Fórmula de sumas de Euler.	Secciones 3.1 a 3.5 Apostol.
30	11.11.2021	Promedios de funciones aritméticas II. Fórmula Asintótica de Dirichlet.	Secciones 3.6 a 3.10 Apostol.
31	16.11.2021	Estimativas sobre primos. Teorema de Chebyshev. Aula 31	Capítulo 4 Apostol.
32	18.11.2021	El Teorema de los Números Primos Aula 32	Apostol.
33	23.11.2021	Presentación de seminarios.
34	25.11.2021	Presentación de seminarios.

Temas Seminarios

A continuación se listan algunos temas sugeridos para presentación de seminarios. Temas-seminario.pdf

Temas a presentar:

No.	Fecha	Conferencista	Tópico
1	23.11.2021	Leonel Contreras	El Décimo Problema de Hilbert. Presentación.pdf
2	23.11.2021	Juan Lorthiois	Aplicaciones en Criptografía. Presentación.pdf
3	23.11.2021	Karina Valladares	Fibonacci: el matemático de la Edad Media. Presentación.pdf
4	23.11.2021	José López	Aritmética de Curvas Elípticas. Presentación.pdf
5	25.11.2021	Estuardo Menéndez	Los aprendices de Weierstrass: Números p-ádicos. Presentación.pdf
6	25.11.2021	José Lucha	La Criba de Sundaram. Presentación.pdf
7	25.11.2021	Javier Mejía	Aplicaciones de la Teoría Algebraica de Números. Presentación.pdf
8	25.11.2021	Lorena Beltrán	Los tres mosqueteros al servicio de su majestad. Presentación.pdf

Referencias

Textos:

• D. Burton (2011). Elementary Number Theory.

• I. Niven, N. Zuckerman (1991). An Introduction to the Theory of Numbers.

• T. Apostol (2010). Introduction to Analytic Number Theory.

Referencias adicionales:

• G. Jones, J. M. Jones (1998). Elementary Number Theory.

• K. Rosen (2011). Elementary Number Theory and Its Applications.

• W. Stein (2009). Elementary Number Theory: Primes, Congruences and Secrets.

• W. Stillwell (2003). Elements of Number Theory.

• I. N. Vinogradov (1954). Elements of Number Theory.

• F. Brochero, C. Moreira, N. Saldanha, E. Tengan (2012). Teoria dos Números. IMPA.

• S. C. Coutinho (2010). Números Inteiros e Criptografía RSA. IMPA.

• P. Ribenboim (1999). Fermat’s Last Theorem for Amateurs. Springer.

Referencias avanzadas:

• G. H. Hardy, E. M. Wright (1968). Introduction to the Theory of Numbers.

• K. Chandrasekharan (1969). Introduction to Analytic Number Theory.

• K. Ireland, M. Rosen (1990). A Classical Introduction to Modern Number Theory.

Solución de problemas (tipo olimpíadas):

• T. Andreescu, D. Andrica (2009). Number Theory: Structures, Examples and Problems.

• T. Andreescu, D. Andrica, Z. Feng (2007). 104 Number Theory Problems.

• A. Engel (2001). Problem-Solving Strategies.

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