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Curso de Geometría Diferencial 2022

Geometría Diferencial 2022

Este es un curso introductorio de geometría diferencial. El tema central del curso es el estudio de la geometría de curvas y superfícies, así como una breve inicio al estudio de la geometría Riemmanniana. Al final del curso, los estudiantes comprederán completamente, la teoría de las curvas y superfícies, y el desarrollo de la geometría diferencial hasta la mitad el siglo XIX. Si el tiempo lo permite, al final del curso se hará una aplicación de cómo la geometría diferencial se utiliza en la teoría de relatividad general. Para aprovechar de mejor manera el curso, es recomendable que los estudiantes estén familiarizados con resultados de análisis real (en una y varias variables), topología de espacios métricos, ecuaciones diferenciales, variable compleja y que tengan un dominio hábil de herramientas de álgebra lineal y cálculo.

Programa del curso

Programa del curso

Horario

  • Martes y jueves, de 17:20 a 18:55 horas.

Office Hours

  • Viernes de 18:00 a 20:00 horas, o por solicitud del estudiante. También pueden enviar sus dudas por correo electrónico.

Material del curso

No. Fecha Tópicos Recursos
01 11.01.2022 Introducción. Historia de la Geometría Diferencial.
Aula 01		 (D. J. Struik) Outline of History of Differential Geometry I
(D. J. Struik) Outline of History of Differential Geometry II
02 13.01.2022 Curvas parametrizadas. Longitud de arco.
Aula 02		 Do Carmo, sección 1.2.
Kühnel, sección 2A, pp. 7–11.
03 18.01.2022 Parametrización por longitud de arco.
Aula 03		 Do Carmo, sección 1.3.
Kühnel, sección 2A, pp. 7–11.
04 20.01.2022 Teoría local de curvas planas.
Aula 04		 Do Carmo, sección 1.5. Kühnel, sección 2B.
Curva toroidal (Geogebra)
05 25.01.2022 Teoría local de curvas en R3 y Rn. Forma canónica local.
Aula 05		 Do Carmo, sección 1.6.
Kühnel, secciones 2C y 2D.
06 27.01.2022 Transformaciones rígidas.
Aula 06		 Para leer sobre el Teorema Fundamental de las EDO: Cap 8.
(W. Kelley, A. Peterson) The Theory of EDO
L1 29.01.2022   Lista de ejercicios 1
Fecha de entrega: Domingo 13 de febrero.
07 01.02.2022 El Teorema fundamental de curvas.
Aula 07		 Do Carmo, sección 1.6.
Kühnel, sección 2D, pp. 28–32.
08 08.02.2022 Propiedades globales de curvas planas.
La desigualdad isoperimétrica.
Aula 08		 Do Carmo, sección 1.7, Kühnel, sección 2F.
09 10.02.2022 Índice de rotación. Curvas convexas.
El Teorema de los 4 vértices.
Aula 09		 (Jackson, 1945) (Ghomi, 2010) (DeTurck, 2007)
Comentario: Hay varias generalizaciones del teorema de los 4 vértices. Por ejemplo, el artículo de DeTurck et al. da otra prueba del teorema y de su recíproco, y lista varias generalizaciones, pero no a superficies.
10 15.02.2022 La fórmula de Cauchy-Crofton.
Aula 10		 Do Carmo, sección 1.7.
11 17.02.2022 Curvas en el espacio de Minkowski.
Aula 11		 Kühnel, sección 2E, pp. 33–37.
L2 27.02.2022   Lista de ejercicios 2
Fecha de entrega: Sábado 12 de marzo.
12 22.02.2022 Superficies regulares.
Aula 12		 Do Carmo, sección 2.2.
13 24.02.2022 Ejemplos de superficies regulares. Forma local.
Aula 13		 Do Carmo, sección 2.2.
14 01.03.2022 Superficies de revolución. Pre-imagen de un valor regular.
Aula 13 notas		  
15 03.03.2022 Funciones diferenciables sobre superficies.
Aula 14 Aula 14 notas		 Do Carmo, sección 2.3.
16 08.03.2022 El Plano Tangente.
Aula 15 Aula 15 notas		 Do Carmo, sección 2.4.
En el libro de Do Carmo de variedades, se habla un poco sobre el fibrado tangente.
17 10.03.2022 Orientabilidad de superficies I.
Aula 16		 Kühnel, sección 3A, pp. 63–65.
Do Carmo, sección 2.6.
18 15.03.2022 Orientabilidad de superficies II. La banda de Möbius es no orientable.
Aula 17		 Kühnel, sección 3A, pp. 63–65.
Do Carmo, sección 2.6.
En Do Carmo se usa otro modelo para representar la banda de Möbius.
L3 17.03.2022   Lista de ejercicios 3
Fecha de entrega: Domingo 03 de abril.
18 17.03.2022 La primera forma fundamental.
Aula 18		 Kühnel, sección 3A. Do Carmo, sección 2.5.
19 22.03.2022 Áreas sobre superficies.
Aula 19		 Kühnel, sección 3A. Do Carmo, sección 2.5.
20 24.03.2022 La aplicación de Gauss. Segunda forma fundamental.
Aula 20		 Kühnel, sección 3B. Do Carmo, sección 3.1.
21 29.03.2022 Curvaturas en superficies. Curvatura media y curvatura de Gauss.
Aula 21		 Kühnel, sección 3B. Do Carmo, sección 3.2 y 3.3.
22 31.03.2022 La indicatriz de Dupin. Ejemplos de superficies con curvaturas constantes. Kühnel, sección 3B. Do Carmo, sección 3.2 y 3.3.
23 05.04.2022 La segunda forma fundamental en coordenadas locales. Ecuación de Weingarten. Aula 22 Kühnel, sección 3B. Do Carmo, sección 3.3.
24 07.04.2022 Superficies regladas. Superficies de revolución. Aula 23  
25 19.04.2022 El problema de Plateau. Superficies Mínimas. Aula 24 Kühnel, sección 3D. Do Carmo, sección 3.5.B.
26 21.04.2022 Superficies Mínimas. Representación de Weierstrass. Aula 25 Kühnel, sección 3D.
27 25.04.2022 Superficies en el espacio de Minkowski. Aula 26 Kühnel, sección 3E.
28 26.04.2022 Teoría intrínseca de superficies. Símbolos de Christoffel. El Teorema Egregium. Aula 27 Aula 27 notas Do Carmo, sección 4.3. Kühnel, sección 4C.
28 28.04.2022 Teorema de Bonnet. Cálculo de símbolos de Christoffel. Aula 28 Aula 28 notas Do Carmo, sección 4.3. Kühnel, sección 4D.
29 03.05.2022 Vecindad tubular. Variación de curvas. Geodésicas. Aula 29 Aula 29 notas Do Carmo, sección 4.4. Montiel Ros, Capítulo 4 (vecindad tubular), Montiel Ros, sección 7.5.
30 05.05.2022 Ejemplos de geodésicas. Derivada covariante.
Aula 30		 Do Carmo, sección 4.4. Kühnel, sección 4A.
31 10.05.2022 La ecuación de las geodésicas.
Aula 30 notas		 Do Carmo, sección 4.4. Kühnel, sección 4A.
32 12.05.2022 La ecuación de las geodésicas.
Aula 31 Aula 31 notas		 Do Carmo, sección 4.4.
33 17.05.2022 El Teorema de Gauss-Bonnet.
Aula 32		 Do Carmo, sección 4.5. Kühnel, sección 4F.
L4 25.05.2022   Lista de ejercicios 4
Fecha de entrega: Sábado 04 de junio.

Referencias