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Geometría Diferencial 2026

Geometría Diferencial 2026

Este es un curso introductorio de geometría diferencial. El tema central del curso es el estudio de la geometría de curvas y superfícies, así como una breve inicio al estudio de la geometría de variedades. Al final del curso, los estudiantes comprederán completamente, la teoría de las curvas y superfícies, y el desarrollo de la geometría diferencial hasta la mitad el siglo XIX. Introduciremos también algunos conceptos de la geometría de variedades diferenciables y un poco de cálculo sobre variedades. Si el tiempo lo permite, al final del curso se hará una aplicación de cómo la geometría diferencial se utiliza en la teoría de relatividad general.

Para aprovechar de mejor manera el curso, es recomendable que los estudiantes estén familiarizados con resultados de análisis real (en una y varias variables), topología de espacios métricos, ecuaciones diferenciales, variable compleja y que tengan un dominio hábil de herramientas de álgebra lineal y cálculo.

Programa del curso

Programa del curso

Horario

  • Martes y jueves, de 17:20 a 18:55 horas.

Office Hours

  • Por definir. Por solicitud del estudiante. También pueden enviar sus dudas por correo electrónico.

Material del curso

No. Fecha Tópicos Recursos
01 15.01.2026 Introducción al curso. Historia de la geometría diferencial. Aula 01 (D. J. Struik) Outline of History of Differential Geometry I
(D. J. Struik) Outline of History of Differential Geometry II
02 20.01.2026 Curvas parametrizadas. Longitud de arco. Aula 02 Do Carmo, sección 1.2.
Kühnel, sección 2A, pp. 7–11.
03 22.01.2026 Difeomorfismos. Parametrización por longitud de arco. Aula 03 Do Carmo, sección 1.3.
Kühnel, sección 2A, pp. 7–11.
04 27.01.2026 Teoría local de curvas. Curvatura en R^2 y R^3. Aula 04a Aula 04b Do Carmo, sección 1.5.
Kühnel, sección 2B.
toroidal_curve.ggb
05 29.01.2026 Referencial de Frenet. Forma canónica local. Curvaturas generalizadas en R^n. Aula 05 Kühnel, secciones 2C y 2D.
L1 31.01.2026 Lista 01. Lista 01
Entrega: martes 17 de febrero.
06 03.02.2026 Transformaciones rígidas en Rn.
Aula 06		  
07 03.02.2026 El Teorema Fundamental de las curvas planas. Aula 07 Do Carmo, sección 1.6.
Kühnel, sección 2D, pp. 28–32.
08 05.02.2026 El Teorema Fundamental de las curvas en R^3. Do Carmo, sección 1.6.
Kühnel, sección 2D, pp. 28–32.
09 10.02.2026 Curvas en el espacio de Minkowski.  
10 10.02.2026 Propiedades globales de curvas planas: La desigualdad isoperimétrica.  
11 12.02.2026 Índice de rotación. El teorema de Fenchel. Teorema de Fabricius-Bjerre.  
12 19.02.2026 El Teorema de los 4 vértices. Fórmula dde Cauchy-Crofton.  
L2 24.02.2026 Lista 02. Lista 02
Entrega: martes 10 de marzo.
13 24.02.2026 Superficies regulares.  
14 26.02.2026 Ejemplos de superficies regulares.  
15 03.03.2026 Teorema de la Función Inversa. Superficies son localmente gráficas.  
16 05.03.2026 Valores regulares de funciones diferenciables.  
17 10.03.2026 Funciones diferenciables en superficies.  
18 12.03.2026 Derivadas. El plano tangente.  
L3 16.03.2026 Lista 03. Lista 03
Entrega: jueves 26 de marzo.
19 17.03.2026 Orientabilidad en Rn. Orientabilidad de superficies.  
20 19.03.2026 Caracterizaciones de la oritentabilidad.  
21 24.03.2026 Ejemplo de una superficie no orientable.  
22 26.03.2026 Solución de ejercicios Lista 3.  
P1 26.03.2026 Examen Parcial 1. Parcial 1
Entrega: jueves 09 de abril.
23 07.04.2026 Primera forma fundamental.  
24 09.04.2026 Solución del Primer Examen Parcial.  
25 14.04.2026 Isometría e isometría local. Áreas en superficies.  
26 16.04.2026 Prueba de la fórmula del área. Ejemplos.  
27 21.04.2026 La aplicación de Gauss. Segunda forma fundamental.  
28 23.04.2026 Curvaturas principales. Indicatriz de Dupin.  
29 28.04.2026 Curvatura media y curvatura de Gauss. Ejemplos.  
30 30.04.2026 El problema de Plateau. Superficies mínimas. Coordenadas isotérmicas.  
31 05.05.2026 Caracterización por coordenadas armónicas. Representación de Enneper-Weierstrass  
32 07.05.2026 Superfícies regladas. Superficies de revolución. Do Carmo, sección 3.4.
33 07.05.2026 Superfícies en el espacio de Minkowski. Kühnel, sección 3E.
34 12.05.2026 Geometría intrínseca de superficies. Símbolos de Christoffel. Do Carmo, sección 4.3.
Kühnel, sección 4C.
35 14.05.2026 Teorema Egregium. Teorema de Bonnet. Cálculo de símbolos de Christoffel.  
L4 14.05.2026 Lista 04. Lista 04
Entrega: jueves 28 de mayo.
36 19.05.2026 Vecindad tubular. Variaciones de curvas. Geodésicas.  

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