Teoría de Números 2022

Este es un curso introductorio a la teoría de números. El curso hace una revisión de los temas clásicos en teoría básica de números, aunque introducidos desde una perspectiva y enfoque algebraico, haciendo uso de propiedades de estructuras como grupos y anillos. Se hace una revisión de los tópicos y conceptos tradicionales en teoría de números: divisibilidad y fundamentos de la aritmética, congruencias y sistemas de congruencias, residuos cuadráticos, fracciones continuas, ecuaciones diofantinas. Se estudian algunos métodos y aplicaciones recientes en el área de criptografía. El final del curso se enfoca en la teoría analítica de números, donde se estudian las principales funciones aritméticas y teoremas de estimación. Se hace una introducción al teorema de los números primos y otros métodos analíticos.

Prerrequisitos

Se recomienda que los estudiantes antes del curso estén habituados con los temas:

• Fundamentos (Inducción matemática, teoría de conjuntos, propiedades de funciones).
• Álgebra lineal (cálculo matricial y propiedades).
• Álgebra abstracta (conocimientos generales de grupos y anillos).
• Matemática discreta (conteo, recurrencias, relaciones de orden y de equivalencia).
• Cálculo (límites, derivadas e integrales).
• Programación en Python.

Programa del curso

Programa del curso

Horario

• Martes y Jueves, de 18:10 a 19:45.

Office Hours

• Viernes, de 19:00 a 20:00.

Material del curso

No.	Fecha	Tópicos	Recursos
01	05.07.2022	Introducción. Historia de la aritmética. Aula 01	Secciones 1.1, 1.2 y 2.1 Burton.
02	07.07.2022	Divisibilidad. Propiedades. Aula 02	Sección 2.2 Burton.
L1	07.07.2022		Lista 01 Fecha de Entrega: viernes 15 de julio.
03	12.07.2022	Algoritmo de la División. MDC y MMC. Aula 03	Sección 2.3 Burton.
04	14.07.2022	Lema de Bézout. Algoritmo de Euclides. Aula 04	Sección 2.3 y 2.4 Burton.
05	19.07.2022	La ecuación xa + yb = c. El Teorema Fundamental de la Aritmética. Aula 05	Secciones 2.5 y 3.1 Burton.
L2	19.07.2022		Lista 02 Fecha de Entrega: jueves 28 de julio.
06	21.07.2022	Números primos. Propiedades. Aula 06	Secciones 3.2 y 3.3 Burton.
07	26.07.2022	Ternas pitagóricas. Aula 07	Secciones 1.6 y 1.7 Stillwell.
08	28.07.2022	Solución de Listas 1 y 2.
09	02.08.2022	Congruencias. Aula 08	Burton.
10	04.08.2022	Potenciación modular. Criterios de Divisibilidad. Aula 09
L3	04.08.2022		Lista 03 Fecha de Entrega: jueves 18 de agosto.
11	16.08.2022	El anillo de enteros módulo n. Aula 10	Burton.
12	18.08.2022	Unidades módulo n. El teorema de Euler-Fermat. Aula 11	Burton. Sección 4.3
13	23.08.2022	Aplicaciones. Test de Pseudo-Primalidad de Fermat. Aula 12	Sección 4.3 Burton.
14	25.08.2022	Solución de congruencias lineales. Teorema Chino.	Sección 4.4 Burton. Falta agregar diapositivas.
L4	25.08.2022		Lista 04 Fecha de Entrega: jueves 01 de septiembre.
15	30.08.2022	Teorema chino en el caso general. Aplicaciones. Aula 14	Sección 4.3 Burton. Falta agregar algunas diapositivas.
16	01.09.2022	Solución de Listas 3 y 4.
17	06.09.2022	Congruencias cuadráticas: Criterio de Euler. Lema de Gauss. Aula 15
18	08.09.2022	Ley de reciprocidad cuadrática. Aula 16
19	20.09.2022	Congruencias de orden superior: Lema de Hensel. Aula 17
20	22.09.2022	El Método rho de Pollard para factoración.
21	27.09.2022	Orden y raíces primitivas. Aula 19
L4	29.09.2022		Lista 05 Fecha de Entrega: jueves 20 de octubre.
22	04.10.2022	Fracciones Continuas. Aula 20
23	06.10.2022	Fracciones Continuas II.
24	11.10.2022	Fracciones de Farey.
25	13.10.2022	Ecuaciones Diofantinas I: Ternas pitagóricas. Ecuación de Lagrange.
26	18.10.2022	Ecuaciones Diofantinas II: Ecuación de Pell.
27	25.10.2022	Ecuaciones Diofantinas III: Sumas de Cuadrados.
28	03.11.2022	Descenso infinito. Ejemplos. Teorema de Fermat caso $n = 4$.
29	08.11.2022	Teorema de Fermat caso $n = 3$.
30	10.11.2022	Enteros algebraicos. Enteros de Gauss. Enteros de Eisenstein.
31	15.11.2022	Funciones aritméticas. Fórmula de inversión de Möbius.	Apostol, Cap. 1 y 2.
32	17.11.2022	Promedios de funciones aritméticas.	Apostol, Cap. 3.
33	18.11.2022	Distribución de números primos.	Apostol.
34	22.11.2022	Presentación de seminarios.
35	24.11.2022	Presentación de seminarios.

Seminario 1

El seminario 1 tiene como objetivo presentar algunos temas del curso: Fracciones continuas, Ecuaciones Diofantinas.

Fechas importantes:

No.	Fecha	Tema	Material
1	06.10.2022	Fracciones continuas: Hurwitz-Markov.	Diapositivas 2021
2	11.10.2022	Fracciones de Farey.	Diapositivas 2021
3	13.10.2022	Ecuaciones Diofantinas I: Eq. de Legendre.	Diapositivas 2021
4	18.10.2022	Ecuaciones Diofantinas I: Eq. de Pell.	Diapositivas 2021
5	25.10.2022	Ecuaciones Diofantinas I: Sumas de Cuadrados.	Diapositivas 2021

Seminario 2

A continuación se listan algunos temas sugeridos para presentación de seminarios. Temas-seminario.pdf

Fechas importantes:

No.	Fecha	.
1	27.10.2022	Elección de tema.
2	18.11.2022	Entrega de presentación y reporte (borrador).
3	21-25.11.2022	Presentación de Seminarios.
4	27.11.2022	Entrega de versión final (Presentación y Reporte).

Temas presentados:

No.	Fecha	Conferencista	Tópico
1	22.11.2021	Carlos Martínez	El algoritmo de Karatsuba.
2	22.11.2021	Oscar Godoy	Curvas Elípticas.
3	24.11.2021	Elder Guzmán	La conjetura de Collatz (3n + 1).
4	24.11.2021	Rafael Dubois	La función P de Weierstrass.
5	24.11.2021	José Lucha	El método RSA.

Referencias

Textos:

• D. Burton (2011). Elementary Number Theory.

• I. Niven, N. Zuckerman (1991). An Introduction to the Theory of Numbers.

• T. Apostol (2010). Introduction to Analytic Number Theory.

Referencias adicionales:

• G. Jones, J. M. Jones (1998). Elementary Number Theory.

• K. Rosen (2011). Elementary Number Theory and Its Applications.

• W. Stein (2009). Elementary Number Theory: Primes, Congruences and Secrets.

• W. Stillwell (2003). Elements of Number Theory.

• I. N. Vinogradov (1954). Elements of Number Theory.

• F. Brochero, C. Moreira, N. Saldanha, E. Tengan (2012). Teoria dos Números. IMPA.

• S. C. Coutinho (2010). Números Inteiros e Criptografía RSA. IMPA.

• P. Ribenboim (1999). Fermat’s Last Theorem for Amateurs. Springer.

Referencias avanzadas:

• G. H. Hardy, E. M. Wright (1968). Introduction to the Theory of Numbers.

• K. Chandrasekharan (1969). Introduction to Analytic Number Theory.

• K. Ireland, M. Rosen (1990). A Classical Introduction to Modern Number Theory.

Solución de problemas (tipo olimpíadas):

• T. Andreescu, D. Andrica (2009). Number Theory: Structures, Examples and Problems.

• T. Andreescu, D. Andrica, Z. Feng (2007). 104 Number Theory Problems.

• A. Engel (2001). Problem-Solving Strategies.

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