Teoría de Números 2025

Este es un curso introductorio a la teoría de números, pero con un abordaje avanzado haciendo uso estructuras algebraicas vistan en otros cursos anteriores. El curso hace una revisión de los temas clásicos en teoría básica de números, aunque introducidos desde una perspectiva y enfoque algebraico, haciendo uso de propiedades de estructuras como grupos y anillos. Se hace una revisión de los tópicos y conceptos tradicionales en teoría de números: divisibilidad y fundamentos de la aritmética, congruencias y sistemas de congruencias, residuos cuadráticos, fracciones continuas, ecuaciones diofantinas. Se estudian algunos métodos y aplicaciones recientes en el área de criptografía.

Al final del curso nos enfocamos en la teoría analítica de números, donde se estudian las principales funciones aritméticas y teoremas de estimación. Se hace una introducción al teorema de los números primos y otros métodos analíticos.

Prerrequisitos

Se recomienda que los estudiantes antes del curso estén habituados con los temas:

• Fundamentos (Inducción matemática, teoría de conjuntos, propiedades de funciones).
• Álgebra lineal (cálculo matricial y propiedades).
• Álgebra abstracta (conocimientos generales de grupos y anillos).
• Matemática discreta (conteo, recurrencias, relaciones de orden y de equivalencia).
• Cálculo (límites, derivadas e integrales).
• Programación en Python.

Programa del curso

Programa del curso

Horario

• Lunes de 19:50 a 21:25 CIT-419 y Viernes de 18:10 a 19:45 CIT-319.

Office Hours

• Martes o jueves de 19:00 a 19:45.

Material del curso

No.	Fecha	Tópicos	Recursos
01	04.07.2025	Generalidades del curso. Motivación histórica. Aula 01	Burton, secciones 1.1, 1.2 y 2.1
L1	04.07.2025		Lista 1 Fecha de entrega: lunes 14 de julio.
02	07.07.2025	Divisibilidad. Propiedades. Aula 02

Seminarios

En este curso se realizarán varios seminarios, los cuales serán indicados más adelante.

Textos:

• D. Burton (2011). Elementary Number Theory.

• I. Niven, N. Zuckerman (1991). An Introduction to the Theory of Numbers.

• T. Apostol (2010). Introduction to Analytic Number Theory.

Referencias adicionales:

• G. Jones, J. M. Jones (1998). Elementary Number Theory.

• K. Rosen (2011). Elementary Number Theory and Its Applications.

• W. Stein (2009). Elementary Number Theory: Primes, Congruences and Secrets.

• W. Stillwell (2003). Elements of Number Theory.

• I. N. Vinogradov (1954). Elements of Number Theory.

• S. C. Coutinho (2014). Números Inteiros e Criptografia RSA.

• P. Ribenboim (1999). Fermat’s Last Theorem for Amateurs. Springer.

Referencias avanzadas:

• G. H. Hardy, E. M. Wright (1968). Introduction to the Theory of Numbers.

• K. Chandrasekharan (1969). Introduction to Analytic Number Theory.

• K. Ireland, M. Rosen (1990). A Classical Introduction to Modern Number Theory.

Solución de problemas (tipo olimpíadas):

• T. Andreescu, D. Andrica (2009). Number Theory: Structures, Examples and Problems.

• T. Andreescu, D. Andrica, Z. Feng (2007). 104 Number Theory Problems.

• A. Engel (2001). Problem-Solving Strategies.

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