Teoría de Números 2025

Este es un curso introductorio a la teoría de números, pero con un abordaje avanzado haciendo uso estructuras algebraicas vistan en otros cursos anteriores. El curso hace una revisión de los temas clásicos en teoría básica de números, aunque introducidos desde una perspectiva y enfoque algebraico, haciendo uso de propiedades de estructuras como grupos y anillos. Se hace una revisión de los tópicos y conceptos tradicionales en teoría de números: divisibilidad y fundamentos de la aritmética, congruencias y sistemas de congruencias, residuos cuadráticos, fracciones continuas, ecuaciones diofantinas. Se estudian algunos métodos y aplicaciones recientes en el área de criptografía.

Al final del curso nos enfocamos en la teoría analítica de números, donde se estudian las principales funciones aritméticas y teoremas de estimación. Se hace una introducción al teorema de los números primos y otros métodos analíticos.

Prerrequisitos

Se recomienda que los estudiantes antes del curso estén habituados con los temas:

• Fundamentos (Inducción matemática, teoría de conjuntos, propiedades de funciones).
• Álgebra lineal (cálculo matricial y propiedades).
• Álgebra abstracta (conocimientos generales de grupos y anillos).
• Matemática discreta (conteo, recurrencias, relaciones de orden y de equivalencia).
• Cálculo (límites, derivadas e integrales).
• Programación en Python.

Programa del curso

Programa del curso

Horario

• Lunes de 19:50 a 21:25 CIT-419 y Viernes de 18:10 a 19:45 CIT-526.

Office Hours

• Martes o jueves de 19:00 a 19:45.

Material del curso

No.	Fecha	Tópicos	Recursos
01	04.07.2025	Generalidades del curso. Motivación histórica. Aula 01	Burton, secciones 1.1, 1.2 y 2.1
L1	04.07.2025		Lista 1 Entrega: lunes 14 de julio
02	07.07.2025	Divisibilidad. Propiedades. Aula 02	Burton, sección 2.2
03	11.07.2025	Algoritmo de la División. MDC y MMC. Aula 03	Burton, sección 2.3
04	14.07.2025	Lema de Bézout. El Algoritmo de Euclides. Aula 04	Burton, secciones 2.3 y 2.4
05	18.07.2025	Estimativas en el algoritmo de Euclides. Aula 05
L2	18.07.2025		Lista 2 Entrega: lunes 28 de julio
06	21.07.2025	La ecuación ax + by = c. Aula 06	Burton, sección 2.4
07	25.07.2025	El Teorema Fundamental de la Aritmética. Aula 07	Burton, sección 2.5
08	28.07.2025	Números primos. Curiosidades y problemas abiertos. Aula 08	Burton, sección 2.5
L3	01.08.2025		Lista 3 Entrega: viernes 15 de agosto
09	01.08.2025	Congruencias. Aula 09	Burton, sección 4.1
10	04.08.2025	Representación en Bases. Potenciación modular. Aula 10	Burton, sección 4.2
11	08.08.2025	Criterios de divisibilidad. Aula 11	Burton, sección 4.2
12	11.08.2025	El anillo Z/nZ de enteros módulo n. Grupo de unidades. Aula 12	Burton, sección 4.3
13	15.08.2025	La función de Euler. El teorema de Euler-Fermat. Aula 13	Burton, sección 4.3
14	18.08.2025	Raíces primitivas. Estructura de U(n). Aula 14	Burton, Cap. 8
L4	22.08.2025		Lista 4 Entrega: lunes 01 de septiembre
15	22.08.2025	Solución de congruencias lineales.	Burton, sección 4.3
16	25.08.2025	Congruencias lineales en varias variables. Sistemas lineales.	Burton, sección 4.3
17	29.08.2025	Teorema Chino del Residuo. Aula 16	Burton, sección 4.3
18	01.09.2025	Prueba algebraica del Teorema Chino. Congruencias cuadráticas.
19	05.09.2025	Símbolo de Legendre. Criterio de Euler. Lema de Gauss. Aula 18
20	08.09.2025	Ley de reciprocidad cuadrática. Cálculo de símbolos de Legendre. Aula 19
21	12.09.2025	Solución de congruencias cuadráticas.
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Seminarios

En este curso se realizarán varios seminarios, los cuales serán indicados más adelante.

Seminario 1 – Cifrado, Tests de primalidad, Fracciones Continuas, Ecuaciones Diofantinas

Fecha	Expositor	Tópico
26.09.2025	Rodrigo Ajmac	Aplicaciones I: Pseudoprimos. Números de Carmichael.
29.09.2025	José Morales	Aplicaciones II: Test de primalidad de Fermat. Otros test de primalidad.
03.10.2025	Ricardo Rodríguez	Aplicaciones III: Logaritmo discreto. Método de Diffie-Hellman.
03.10.2025	Mario Morales	Aplicaciones IV: Criptografía de llave pública. Cifrado RSA.
06.10.2025	Micaela Yatáz	Fracciones continuas I: Hasta el Teorema 15.2, Ejemplos.
06.10.2025	Juan Pablo Cordón	Fracciones continuas II: Teoremas 15.5, 15.6 y Corolario.
10.10.2025	Sara Guzmán	Fracciones continuas III: Teoremas 15.7, Ejemplos 15.5 y 15.6.
10.10.2025	José Emilio Reyes	Fracciones continuas IV: Buenas Aproximaciones. Lema, Teoremas 15.8 y 15.9, Ejemplos.
13.10.2025	Ricardo Morales	Ecuaciones Diofantinas I: Ternas Pitagóricas.
13.10.2025	Javier Ovalle	Ecuaciones Diofantinas II: Ecuación de Legendre.
17.10.2025	Ian Castellanos	Ecuaciones Diofantinas III: Ecuación de Pell.
17.10.2025	Pablo Herrera	Ecuaciones Diofantinas IV: Sumas de Cuadrados.

Seminario 2 – Tópicos en Teoría de Números

No.	Fecha	Tópicos	Recursos
1	29.08.2025	Lista de temas propuestos.	Temas Sugeridos
2	26.09.2025	Fecha límite para elegir tema.
3	14.11.2025	Presentación de pósters.
4	17-21.11.2025	Presentaciones en clase.

Seminario 2 – Tópicos en Teoría de Números (temas ya elegidos)

Fecha	Expositor	Tópico
Noviembre	Ricardo Rodríguez	Propiedades de los números perfectos
Noviembre	Ian Castellanos	Grupo monstruo y la conjetura Monstruous Moonshine
Noviembre	Ricardo Morales	La conjetura de Cramèr
Noviembre	Pablo Herrera	Aplicaciones en criptografía

Textos:

• D. Burton (2011). Elementary Number Theory.

• I. Niven, N. Zuckerman (1991). An Introduction to the Theory of Numbers.

• T. Apostol (2010). Introduction to Analytic Number Theory.

Referencias adicionales:

• G. Jones, J. M. Jones (1998). Elementary Number Theory.

• K. Rosen (2011). Elementary Number Theory and Its Applications.

• W. Stein (2009). Elementary Number Theory: Primes, Congruences and Secrets.

• W. Stillwell (2003). Elements of Number Theory.

• I. N. Vinogradov (1954). Elements of Number Theory.

• S. C. Coutinho (2014). Números Inteiros e Criptografia RSA.

• P. Ribenboim (1999). Fermat’s Last Theorem for Amateurs. Springer.

Referencias avanzadas:

• G. H. Hardy, E. M. Wright (1968). Introduction to the Theory of Numbers.

• K. Chandrasekharan (1969). Introduction to Analytic Number Theory.

• K. Ireland, M. Rosen (1990). A Classical Introduction to Modern Number Theory.

Solución de problemas (tipo olimpíadas):

• T. Andreescu, D. Andrica (2009). Number Theory: Structures, Examples and Problems.

• T. Andreescu, D. Andrica, Z. Feng (2007). 104 Number Theory Problems.

• A. Engel (2001). Problem-Solving Strategies.

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