Teoría de Números 2025
Este es un curso introductorio a la teoría de números, pero con un abordaje avanzado haciendo uso estructuras algebraicas vistan en otros cursos anteriores. El curso hace una revisión de los temas clásicos en teoría básica de números, aunque introducidos desde una perspectiva y enfoque algebraico, haciendo uso de propiedades de estructuras como grupos y anillos. Se hace una revisión de los tópicos y conceptos tradicionales en teoría de números: divisibilidad y fundamentos de la aritmética, congruencias y sistemas de congruencias, residuos cuadráticos, fracciones continuas, ecuaciones diofantinas. Se estudian algunos métodos y aplicaciones recientes en el área de criptografía.
Al final del curso nos enfocamos en la teoría analítica de números, donde se estudian las principales funciones aritméticas y teoremas de estimación. Se hace una introducción al teorema de los números primos y otros métodos analíticos.
Prerrequisitos
Se recomienda que los estudiantes antes del curso estén habituados con los temas:
- Fundamentos (Inducción matemática, teoría de conjuntos, propiedades de funciones).
- Álgebra lineal (cálculo matricial y propiedades).
- Álgebra abstracta (conocimientos generales de grupos y anillos).
- Matemática discreta (conteo, recurrencias, relaciones de orden y de equivalencia).
- Cálculo (límites, derivadas e integrales).
- Programación en Python.
Programa del curso
Horario
- Lunes de 19:50 a 21:25 CIT-419 y Viernes de 18:10 a 19:45 CIT-526.
Office Hours
- Martes o jueves de 19:00 a 19:45.
Material del curso
| No. | Fecha | Tópicos | Recursos |
|---|---|---|---|
| 01 | 04.07.2025 | Generalidades del curso. Motivación histórica. Aula 01 |
Burton, secciones 1.1, 1.2 y 2.1 |
| L1 | 04.07.2025 | Lista 1 Entrega: lunes 14 de julio |
|
| 02 | 07.07.2025 | Divisibilidad. Propiedades. Aula 02 |
Burton, sección 2.2 |
| 03 | 11.07.2025 | Algoritmo de la División. MDC y MMC. Aula 03 |
Burton, sección 2.3 |
| 04 | 14.07.2025 | Lema de Bézout. El Algoritmo de Euclides. Aula 04 |
Burton, secciones 2.3 y 2.4 |
| 05 | 18.07.2025 | Estimativas en el algoritmo de Euclides. Aula 05 |
|
| L2 | 18.07.2025 | Lista 2 Entrega: lunes 28 de julio |
|
| 06 | 21.07.2025 | La ecuación ax + by = c. Aula 06 |
Burton, sección 2.4 |
| 07 | 25.07.2025 | El Teorema Fundamental de la Aritmética. Aula 07 |
Burton, sección 2.5 |
| 08 | 28.07.2025 | Números primos. Curiosidades y problemas abiertos. Aula 08 | Burton, sección 2.5 |
| L3 | 01.08.2025 | Lista 3 Entrega: viernes 15 de agosto |
|
| 09 | 01.08.2025 | Congruencias. Aula 09 |
Burton, sección 4.1 |
| 10 | 04.08.2025 | Representación en Bases. Potenciación modular. Aula 10 | Burton, sección 4.2 |
| 11 | 08.08.2025 | Criterios de divisibilidad. Aula 11 |
Burton, sección 4.2 |
| 12 | 11.08.2025 | El anillo Z/nZ de enteros módulo n. Grupo de unidades. Aula 12 | Burton, secciones 4.3, 5.2 y 5.3 |
| 13 | 15.08.2025 | La función de Euler. El teorema de Euler-Fermat. Aula 13 | Burton, secciones 7.2 y 7.3 |
| 14 | 18.08.2025 | Raíces primitivas. Estructura de U(n). Aula 14 |
Burton, Cap. 8 |
| L4 | 22.08.2025 | Lista 4 Entrega: lunes 01 de septiembre |
|
| 15 | 22.08.2025 | Solución de congruencias lineales. |
Burton, sección 4.3 |
| 16 | 25.08.2025 | Congruencias lineales en varias variables. Sistemas lineales. | Burton, sección 4.3 |
| 17 | 29.08.2025 | Teorema Chino del Residuo. Aula 16 |
Burton, sección 4.3 |
| 18 | 01.09.2025 | Prueba algebraica del Teorema Chino. Congruencias cuadráticas. | |
| 19 | 05.09.2025 | Símbolo de Legendre. Criterio de Euler. Lema de Gauss. Aula 18 | Burton, secciones 9.1 y 9.2 |
| 20 | 08.09.2025 | Ley de reciprocidad cuadrática. Cálculo de símbolos de Legendre. Aula 19 | Burton, sección 9.3 |
| 21 | 12.09.2025 | Solución de congruencias cuadráticas. |
|
| 22 | 22.09.2025 | Congruencias de orden superior. Lema de Hensel. Aula 21 | Niven y Zuckerman. |
| L5 | 26.09.2025 | Actividad colaborativa: Bestiario. Uso crítico de la IA en clase. |
Lista 5 Entrega: viernes 26 de septiembre |
| 23 | 29.09.2025 | Pseudoprimos. Números de Carmichael. Aula 22 Por Rodrigo Ajmac |
Burton, sección 5.1 |
| 24 | 29.09.2025 | Test de primalidad de Fermat. Otros test de primalidad. Aula 23 Por José Ángel Morales |
Burton, sección 5.2 Stein, sección 2.4 |
| 25 | 03.10.2025 | Logaritmo discreto. Método de Diffie-Hellman. Aula 24 Por Ricardo Rodríguez |
Burton, capítulo 8 Stein, secciones 3.1 y 3.2 |
| 26 | 03.10.2025 | Cifrado RSA. Aula 25 Por Esteban Morales |
Stillwell, capítulo 4 Stein, secciones 3.3 y 3.4 |
| 27 | 06.10.2025 | Fracciones continuas finitas. Aula 26 Por Micaela Yatáz |
Burton, sección 15.2 |
| 28 | 06.10.2025 | Fracciones continuas infinitas y convergentes. Aula 27 Por Juan Pablo Cordón |
Burton, sección 15.3 |
| 29 | 10.10.2025 | Cálculo de fracciones infinitas. Aula 28 Por Sara Guzmán |
Burton, sección 15.2 |
| 30 | 10.10.2025 | Fracciones continuas y buenas aproximaciones. Aula 29 Por José Emilio Reyes |
Burton, sección 15.3 |
| 31 | 13.10.2025 | Ternas pitagóricas. Aula 30 Por Ricardo Morales |
Niven-Zuckerman, sección 7.8 |
| 32 | 13.10.2025 | La ecuación de Legendre. Aula 31 Por Javier Ovalle |
|
| 33 | 17.10.2025 | La ecuación de Pell. Aula 32 Por Ian Castellanos |
Stillwell, capítulo 5 |
| 34 | 24.10.2025 | Sumas de cuadrados. Teorema de Legendre. Aula 33 Por Pablo Herrera |
Stillwell, capítulo 8 |
| L6 | 27.10.2025 | Lista 6. | Lista 6 Entrega: viernes 07 de noviembre |
| L7 | 27.10.2025 | Lista 7. | Lista 7 Entrega: viernes 14 de noviembre |
| 35 | 27.10.2025 | Descenso de Fermat. Aula 34 |
|
| 36 | 27.10.2025 | La ecuación de Fermat. Prueba del caso n=4 y n=3. Aula 35a Aula 35b | |
| 37 | 31.10.2025 | Enteros algebraicos. |
|
| 38 | 03.11.2025 | Funciones aritméticas. |
|
| 39 | 07.11.2025 | La fórmula de inversión de Möbius. |
|
| 40 | 10.11.2025 | Promedios de funciones aritméticas. |
|
| 41 | 14.11.2025 | Estimativas sobre primos. El teorema de los números primos. | |
| 42 | 14.11.2025 | Presentación de pósters. |
|
| 43 | 17.11.2025 | Presentación de seminarios. |
En este curso se realizarán dos seminarios, los cuales serán indicados más adelante.
Seminario 1 – Cifrado, Tests de primalidad, Fracciones Continuas, Ecuaciones Diofantinas
| Fecha | Expositor | Tópico |
|---|---|---|
| 26.09.2025 | Rodrigo Ajmac | Aplicaciones I: Pseudoprimos. Números de Carmichael. |
| 29.09.2025 | José Morales | Aplicaciones II: Test de primalidad de Fermat. Otros test de primalidad. |
| 03.10.2025 | Ricardo Rodríguez | Aplicaciones III: Logaritmo discreto. Método de Diffie-Hellman. |
| 03.10.2025 | Esteban Morales | Aplicaciones IV: Criptografía de llave pública. Cifrado RSA. |
| 06.10.2025 | Micaela Yatáz | Fracciones continuas I: Hasta el Teorema 15.2, Ejemplos. |
| 06.10.2025 | Juan Pablo Cordón | Fracciones continuas II: Teoremas 15.5, 15.6 y Corolario. |
| 10.10.2025 | Sara Guzmán | Fracciones continuas III: Teoremas 15.7, Ejemplos 15.5 y 15.6. |
| 10.10.2025 | José Emilio Reyes | Fracciones continuas IV: Buenas Aproximaciones. Lema, Teoremas 15.8 y 15.9, Ejemplos. |
| 13.10.2025 | Ricardo Morales | Ecuaciones Diofantinas I: Ternas Pitagóricas. |
| 13.10.2025 | Javier Ovalle | Ecuaciones Diofantinas II: Ecuación de Legendre. |
| 17.10.2025 | Ian Castellanos | Ecuaciones Diofantinas III: Ecuación de Pell. |
| 17.10.2025 | Pablo Herrera | Ecuaciones Diofantinas IV: Sumas de Cuadrados. |
Seminario 2 – Tópicos en Teoría de Números
| No. | Fecha | Tópicos | Recursos |
|---|---|---|---|
| 1 | 29.08.2025 | Lista de temas propuestos. | Temas Sugeridos |
| 2 | 26.09.2025 | Fecha límite para elegir tema. | |
| 3 | 07.11.2025 | Fecha límite para entrega de póster para revisión. | Instrucciones Póster |
| 4 | 10.11.2025 | Entre de borrador de presentación. | |
| 5 | 14.11.2025 | Presentación de pósters en Expo Mate. | |
| 6 | 17-21.11.2025 | Presentaciones en clase. |
Seminario 2 – Tópicos en Teoría de Números (temas ya elegidos)
| Fecha | Expositor | Tópico |
|---|---|---|
| 10.11.2025 | Ricardo Rodríguez | Propiedades de los números perfectos Presentación |
| 10.11.2025 | Ricardo Morales | Brechas entre primos y la conjetura de Cramér Presentación |
| 10.11.2025 | José Ángel Morales | La conjetura de Goldbach Presentaciónn |
| 14.11.2025 | Pablo Herrera | Aplicaciones de la teoría de números en criptografía Presentación |
| 14.11.2025 | Rodrigo Ajmac | Aritmética maya Presentación |
| 14.11.2025 | Sara Guzmán | Sophie Germain: Rompiendo Barreras y la lógica del Último Teorema de Fermat Presentación |
| 17.11.2025 | Micaela Yatáz | Números p-ádicos Presentación |
| 17.11.2025 | Esteban Morales | La función W de Lambert en teoría de números Presentación |
| 17.11.2025 | José Emilio Reyes | La función Zeta de Riemann Presentación |
| 21.11.2025 | Javier Ovalle | Algoritmo de Shor Presentación |
| 21.11.2025 | Juan Pablo Cordón | Curvas elípticas Presentación |
| 21.11.2025 | Ian Castellanos | La conjetura Monstruous Moonshine Presentación |
Textos:
Referencias adicionales:
-
K. Rosen (2011). Elementary Number Theory and Its Applications.
-
W. Stein (2009). Elementary Number Theory: Primes, Congruences and Secrets.
-
P. Ribenboim (1999). Fermat’s Last Theorem for Amateurs. Springer.
Referencias avanzadas:
-
G. H. Hardy, E. M. Wright (1968). Introduction to the Theory of Numbers.
-
K. Chandrasekharan (1969). Introduction to Analytic Number Theory.
-
K. Ireland, M. Rosen (1990). A Classical Introduction to Modern Number Theory.
Solución de problemas (tipo olimpíadas):
-
T. Andreescu, D. Andrica (2009). Number Theory: Structures, Examples and Problems.
-
T. Andreescu, D. Andrica, Z. Feng (2007). 104 Number Theory Problems.